KM算法詳解[轉]
阿新 • • 發佈：2017-08-13
分割 貪心 方便 itl 兩個 最大權值匹配 之間 保留 top
添加頂標之後的二分圖：
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KM算法詳解
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- 二分圖博客推薦
- 匈牙利算法步驟
- 匈牙利算法博客推薦
- KM算法步驟
- KM算法標桿(又名頂標)的引入
- KM流程詳解
- KM算法博客推薦
0.二分圖
二分圖的概念
二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V, E)是一個無向圖。如果頂點集V可分割為兩個互不相交的子集X和Y，並且圖中每條邊連接的兩個頂點一個在X中，另一個在Y中，則稱圖G為二分圖。 可以得到線上的driver與order之間的匹配關系既是一個二分圖。二分圖的判定
無向圖G為二分圖的充分必要條件是，G至少有兩個頂點，且其所有回路的長度均為偶數。 判斷無向連通圖是不是二分圖，可以使用深度優先遍歷算法（又名交叉染色法）。 下面著重介紹下交叉染色法的定義與原理 首先任意取出一個頂點進行染色,和該節點相鄰的點有三種情況: 1.如果節點沒有染過色，就染上與它相反的顏色，推入隊列， 2.如果節點染過色且相反，忽視掉， 3.如果節點染過色且與父節點相同，證明不是二分圖，return 回到頂部二分圖博客推薦
代碼可參考博客： 圖論入門———深度優先搜索實現二分圖判定1.KM算法初步
KM算法全稱是Kuhn-Munkras，是這兩個人在1957年提出的，有趣的是，匈牙利算法是在1965年提出的。增廣路徑
增廣路徑定義： 若P是圖G中一條連通兩個未匹配頂點的路徑，並且屬於M的邊和不屬於M的邊(即已匹配和待匹配的邊)在P上交替出現，則稱P為相對於M的一條增廣路徑 （舉例來說，有A、B集合，增廣路由A中一個點通向B中一個點，再由B中這個點通向A中一個點……交替進行） 增廣路徑有如下特性： 1. 有奇數條邊 2. 起點在二分圖的X邊，終點在二分圖的Y邊增廣路徑有兩種尋徑方法，一個是深搜，一個是寬搜。 例如從x2出發尋找增廣路徑
- 如果是深搜，x2找到y0匹配，但發現y0已經被x1匹配了，於是就深入到x1，去為x1找新的匹配節點，結果發現x1沒有其他的匹配節點，於是匹配失敗，x2接著找y1，發現y1可以匹配，於是就找到了新的增廣路徑。
- 如果是寬搜，x1找到y0節點的時候，由於不能馬上得到一個合法的匹配，於是將它做為候選項放入隊列中，並接著找y1，由於y1已經匹配，於是匹配成功返回了。
匈牙利算法
匈牙利算法，用於求二分圖的最大匹配。何為最大匹配？假設每條邊有權值，那麽一定會存在一個最大權值的匹配情況。 回到頂部匈牙利算法步驟
算法根據一定的規則選擇二分圖的邊加入匹配子圖中，其基本模式為： 1.初始化匹配子圖為空 2.While 找得到增廣路徑 3.Do 把增廣路徑添加到匹配子圖中 回到頂部匈牙利算法博客推薦
KM深度優先遍歷算法，其中附帶講解圖可參考博客：趣寫算法系列之–匈牙利算法 最大匹配的講解博客：匈牙利算法（二分圖）KM算法
KM算法，用於求二分圖匹配的最佳匹配。何為最佳匹配？就是帶權二分圖的權值最大的完備匹配稱為最佳匹配。 那麽何為完備匹配？X部中的每一個頂點都與Y部中的一個頂點匹配，或者Y部中的每一個頂點也與X部中的一個頂點匹配，則該匹配為完備匹配。 回到頂部KM算法步驟
其算法步驟如下： 1.用鄰接矩陣（或其他方法也行啦）來儲存圖，註意：如果只是想求最大權值匹配而不要求是完全匹配的話，請把各個不相連的邊的權值設置為0。 2.運用貪心算法初始化標桿。 3.運用匈牙利算法找到完備匹配。 4.如果找不到，則通過修改標桿，增加一些邊。 5.重復3，4的步驟，直到完全匹配時可結束。 回到頂部KM算法標桿(又名頂標)的引入
二分圖最佳匹配還是二分圖匹配，所以跟和匈牙利算法思路差不多。 二分圖是特殊的網絡流，最佳匹配相當於求最大（小）費用最大流，所以FF算法（全名Ford-Fulkerson算法）也能實現。- 所以我們可以把這匈牙利算法和FF算法結合起來。這就是KM算法的思路了：盡量找最大的邊進行連邊，如果不能則換一條較大的。
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- FF算法裏面，我們每次是找最長（短）路進行通流，所以二分圖匹配裏面我們也按照FF算法找最大邊進行連邊！
- 但是遇到某個點被匹配了兩次怎麽辦？那就用匈牙利算法進行更改匹配！
- 所以，根據KM算法的思路，我們一開始要對邊權值最大的進行連線。
- 那問題就來了，我們如何讓計算機知道該點對應的權值最大的邊是哪一條？或許我們可以通過某種方式記錄邊的另一端點，但是呢，後面還要涉及改邊，又要記錄邊權值總和，而這個記錄端點方法似乎有點麻煩。
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- 於是KM采用了一種十分巧妙的辦法（也是KM算法思想的精髓）：添加標桿(頂標)
- 我們對左邊每個點Xi和右邊每個點Yi添加標桿Cx和Cy。其中我們要滿足Cx+Cy>=w[x][y]（w[x][y]即為點Xi、Yi之間的邊權值）
- 對於一開始的初始化，我們對於每個點分別進行如下操作：Cx=max(w[x][y]); Cy=0;
添加頂標之後的二分圖：
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KM流程詳解
- 初始化可行頂標的值 (設定lx,ly的初始值)
- 用匈牙利算法尋找相等子圖的完備匹配
- 若未找到增廣路則修改可行頂標的值
- 重復(2)(3)直到找到相等子圖的完備匹配為止
- 於是乎我們連了AD，形成一個新的二分圖（我們下面叫它二分子圖好了）
- 接下來就尷尬了，計算機接下來要連B點的BD，但是D點已經和A點連了，怎麽辦呢？？？
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- 根據匈牙利算法，我們做的是將A點與其他點進行連線，但此時的子圖裏“不存在”與A點相連的其他邊，怎麽辦呢？？？
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- 為此，我們就需要加上這些邊！很明顯，我們添邊，自然要加上不在子圖中邊權最大的邊，也就是和子圖裏這個邊權值差最小的邊。
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- 於是，我們再一度引入了一變量d，d=min{Cx[i]+Cy[j]-w[i][j]}，其中，在這個題目裏Cx[i]指的是A的標桿，Cy[j]是除D點（即已連點）以外的點的標桿。
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- 隨後，對於原先存在於子圖的邊AD，我們將A的標桿Cx[i]減去d，D的標桿Cy[d]加上d。
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- 這樣，這就保證了原先存在AD邊保留在了子圖中，並且把不在子圖的最大權值的與A點相連的邊AE添加到了子圖。
- 因為計算機判斷一條邊是否在該子圖的條件是其兩端的頂點的標桿滿足Cx+Cy==w[x][y]
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- 對於原先的邊，我們對左端點的標桿減去了d，對右端點的標桿加上了d，所以最終的結果還是不變，仍然是w[x][y]。
- 對於我們要添加的邊，我們對於左端點減去了d，即Cx[i]=Cx[i]-d;為方便表示我們把更改後的的Cx[i]視為Cz[i]，即Cz[i]=Cx[i]-d;
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- 因為Cz[i]=Cx[i]-d；d=Cx[i]+Cy[j]-w[i][j]；
- 把d代入左式可得Cz[i]=Cx[i]-(Cx[i]+Cy[j]-w[i][j]);
- 化簡得Cz[i]+Cy[j]=w[i][j]；
- 滿足了要求！即添加了新的邊。
- 重復進行上述流程。（匈牙利算法以及FF算法的結合）
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頂標內容講的很好：KM算法 松弛度內容講的比較好：二分圖的最佳完美匹配——KM算法 匈牙利算法和FF算法結合得到KM算法講的很詳細：二分圖匹配之最佳匹配——KM算法 最佳講解博客推薦：我對KM算法的理解KM算法詳解[轉]