基本定義：對於無向圖G=(V,E)，若對於V中任意結點對v,u，v與u之間總是有一條路徑（由E中的若幹條邊組成）相連接，那麽稱G是連通圖。

命題1：對於連通圖G=(V,E)，必然有|E|>=|V|-1。

　　證明：首先要認清一個圖G=(V,E)必然是由若幹個互不關聯的子連通圖組成的。繼而，需要證明每次向圖中增加一條邊，或者不影響其互不關聯的子連通圖的數目（這條邊落在了一個子連通圖的內部），或者使得原圖中兩個子連通圖相互連通，從而新的圖中互不關聯的子連通圖的數目較原圖減少1。

命題2：對於連通圖G=(V,E)，若|E|=|V|-1，則G中無環路（無向圖中的環路必須擁有不少於三條邊）。

　　證明：需要證明對於一個帶環連通圖，移除環中任意一條邊，圖依舊連通，而根據命題1知道圖連通的必要條件是|E|>=|V|-1，因此可以推導出原圖至少有|V|條邊。從而利用反證法證明命題的成立。

命題3：對於連通圖G=(V,E)，若|E|>=|V|，則G中必定有環路。

　　證明：首先將V中的結點分為兩組，S和U，S中的結點稱為選擇結點，而U中的結點稱為未選擇結點。一開始S為空而U=V。之後每次循環都選擇一條邊(s,u)，其中s屬於S，u屬於U，將u選擇，並從U中移除加入到S中，直到S=V。假如上面所述的循環中無法找到符合條件的邊，那麽我們就可以將圖G切分為包含結點集S和U的互不關聯的子連通圖，這與G是全連通的前提相悖。這樣一直到循環結束，我們總共選擇了|V|-1條邊，而實際上原圖G只需要這被選擇的|V|-1條邊就可以全連通。而向圖G中再增加任意一條邊(x,y)都會造成環的出現，這是由於x與y在|V|-1條邊時連通故已經存在一條路徑，而新增的邊與路徑組合形成了一個環。

連通圖的一些性質