雙邊濾波和引導濾波的原理
雙邊濾波很有名，使用廣泛，簡單的說就是一種同時考慮了像素空間差異與強度差異的濾波器，因此具有保持圖像邊緣的特性。
先看看我們熟悉的高斯濾波器
其中W是權重，i和j是像素索引，K是歸一化常量。公式中可以看出，權重只和像素之間的空間距離有關系，無論圖像的內容是什麽，都有相同的濾波效果。
再來看看雙邊濾波器，它只是在原有高斯函數的基礎上加了一項，如下
其中 I 是像素的強度值，所以在強度差距大的地方（邊緣），權重會減小，濾波效應也就變小。總體而言，在像素強度變換不大的區域，雙邊濾波有類似於高斯濾波的效果，而在圖像邊緣等強度梯度較大的地方，可以保持梯度。
引導濾波
引導濾波是近三年才出現的濾波技術，知道的人還不多。它與雙邊濾波最大的相似之處，就是同樣具有保持邊緣特性。在引導濾波的定義中，用到了局部線性模型，至於該模型，可以暫時用下圖簡單的理解
該模型認為，某函數上一點與其鄰近部分的點成線性關系，一個復雜的函數就可以用很多局部的線性函數來表示，當需要求該函數上某一點的值時，只需計算所有包含該點的線性函數的值並做平均即可。這種模型，在表示非解析函數上，非常有用。
同理，我們可以認為圖像是一個二維函數，而且沒法寫出解析表達式，因此我們假設該函數的輸出與輸入在一個二維窗口內滿足線性關系，如下
其中，q是輸出像素的值，I是輸入圖像的值，i和k是像素索引，a和b是當窗口中心位於k時該線性函數的系數。其實，輸入圖像不一定是待濾波的圖像本身，也可以是其他圖像即引導圖像，這也是為何稱為引導濾波的原因。對上式兩邊取梯度，可以得到
即當輸入圖像I有梯度時，輸出q也有類似的梯度，現在可以解釋為什麽引導濾波有邊緣保持特性了。
下一步是求出線性函數的系數，也就是線性回歸，即希望擬合函數的輸出值與真實值p之間的差距最小，也就是讓下式最小
這裏p只能是待濾波圖像，並不像I那樣可以是其他圖像。同時，a之前的系數（以後都寫為e）用於防止求得的a過大，也是調節濾波器濾波效果的重要參數。通過最小二乘法，我們可以得到
其中，
在計算每個窗口的線性系數時，我們可以發現一個像素會被多個窗口包含，也就是說，每個像素都由多個線性函數所描述。因此，如之前所說，要具體求某一點的輸出值時，只需將所有包含該點的線性函數值平均即可，如下
這裏，w_k是所有包含像素i的窗口，k是其中心位置。
當把引導濾波用作邊緣保持濾波器時，往往有 I = p ，如果e=0，顯然a=1, b=0是E(a,b)為最小值的解，從上式可以看出，這時的濾波器沒有任何作用，將輸入原封不動的輸出。如果e>0，在像素強度變化小的區域（或單色區域），有a近似於（或等於）0，而b近似於（或等於）
在濾波效果上，引導濾波和雙邊濾波差不多，在一些細節上，引導濾波較好。引導濾波最大的優勢在於，可以寫出時間復雜度與窗口大小無關的算法（打算在之後的文章中討論），因此在使用大窗口處理圖片時，其效率更高。
雙邊濾波和引導濾波的原理