[luoguP2331] [SCOI2005]最大子矩陣(DP)
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orz不會做。。。
一個好理解的做法(n^3*k):
分n=1和n=2兩種情況考慮。
n=1時,預處理出前綴和sum[]。
設f[i][j]為到達第i格,已經放了j個子矩陣的最大和,
那麽每次先把f[i][j]的值設為f[i-1][j](第i個元素不屬於第j個子矩陣)
剩下的情況就是第i個元素屬於第j個子矩陣了。
這時候用max(f[h-1][j-1]+(sum[i]-sum[h-1]), 1<=h<=i)更新f[i][j]的最大值,即枚舉第j個子矩陣的起始點。
最終答案為f[m][k]。(邊界條件為f[0][j]=0,包含空矩陣)
n=2時,預處理出分別列的前綴和sum1[],sum2[]。
設f[i][j][l]為在第1列到達第i格,第2列到達第j格,已經放了l個子矩陣的最大和,
那麽每次先把f[i][j][l]的值設為max(f[i-1][j][l],f[i][j-1][l])(第i行第1列不屬於子矩陣或第j行第2列不屬於子矩陣,兩者取較大值)
剩下的情況就是第i行第1列和第j行第2列都屬於子矩陣了。
分兩種情況:
一、第i行第1列和第j行第2列屬於不同的子矩陣
分別枚舉第i行第1列所在子矩陣的起始點和第j行第2列所在子矩陣的起始點並更新答案,
即用max(f[h-1][j][l-1]+(sum1[i]-sum1[h-1]), 1<=h<=i)和max(f[i][h-1][l-1]+(sum2[j]-sum2[h-1]),1<=h<=j)更新f[i][j]的最大值。
二、第i行第1列和第j行第2列屬於同一子矩陣
僅當i==j時才包含這種情況(因為i和j要作為當前狀態中子矩陣的末尾)。這時候這個子矩陣的列數必定為2。
還是一樣枚舉子矩陣的起始點,
在i==j的條件下用max(f[h-1][h-1][l-1]+(sum1[i]-sum1[h-1])+(sum2[j]-sum2[h-1]),1<=h<=i)更新答案。
最後答案為f[m][m][k](邊界條件為f[0][0][l]=0,包含空矩陣)
#include <cstdio> #define M 15 #define N 105 #define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y)) int n, m, K; int sum[N][M]; int f[N][N][M], f0[N][M]; int main() { int i, j, k, l, x; scanf("%d %d %d", &n, &m, &K); for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= m; j++) { scanf("%d", &x); sum[i][j] = sum[i - 1][j] + x; } if(m == 1) { for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= K; j++) { f0[i][j] = f0[i - 1][j]; for(k = 1; k <= i; k++) f0[i][j] = max(f0[i][j], f0[k - 1][j - 1] + sum[i][1] - sum[k - 1][1]); } printf("%d\n", f0[n][K]); return 0; } for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= n; j++) for(k = 1; k <= K; k++) { f[i][j][k] = max(f[i - 1][j][k], f[i][j - 1][k]); for(l = 1; l <= i; l++) f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[l - 1][j][k - 1] + sum[i][1] - sum[l - 1][1]); for(l = 1; l <= j; l++) f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i][l - 1][k - 1] + sum[j][2] - sum[l - 1][2]); if(i == j) for(l = 1; l <= i; l++) f[i][i][k] = max(f[i][i][k], f[l - 1][l - 1][k - 1] + sum[i][1] - sum[l - 1][1] + sum[i][2] - sum[l - 1][2]); } printf("%d\n", f[n][n][K]); return 0; }
還看到一個比較神的nk做法
O(Nk)時間復雜度0ms過
只有一列的不用說吧,我說下兩列的
考慮每一行的狀態
0 空出這一行
1 選擇左邊空出右邊
2 選擇右邊空出左邊
3 選擇這一行兩個(不作為一個矩陣,而是左邊一列單獨一個矩陣,右邊單獨一個矩陣)
4 選擇這一行兩個(兩個一塊作為一個矩陣的一部分)
定義f[i,j,k]為當前處理到第i行,已經選了j個矩陣,當前行狀態為k的最大值(k為上面的0-4種狀態)
如果空出這一行,則j不需要變化,直接繼承上一行的各種狀態的最大值
f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j][4]);
如果選擇左邊空出右邊,如果上一行的左邊沒有單獨地選擇成為矩陣的話(即選擇1或3),則j需要包含新選擇成為的矩陣(即這一行的左邊的這個矩陣),
如果上一行為同時選擇兩列的為一個矩陣的狀態,則只選擇單獨的左邊是不能包含進去上一行的矩陣的,所以也應j-1(t1為這一行左邊的值)
f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3], f[i-1][j-1][4])+t1;
右邊同理(t2為這一行右邊的值)
f[i][j][2]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3], f[i-1][j-1][4])+t2;
選擇兩個分別單獨作為矩陣,類似只選擇左邊或右邊,不過是單獨選左邊和右邊合並了下
f[i][j][3]=max(f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3])+t1+t2;
if(j>=2) f[i][j][3]=max(f[i][j][3],f[i-1][j-2][4]+t1+t2);
選擇兩個作為一個矩陣,則上一行除了可以接上的,都得j-1
f[i][j][4]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j-1][3],f[i-1][j][4])+t1+t2;
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