計算幾何經典題，貼板子。

Description

　　在某塊平面土地上有N個點，你可以選擇其中的任意四個點，將這片土地圍起來，當然，你希望這四個點圍成的多邊形面積最大。

Input

　　第1行一個正整數N，接下來N行，每行2個數x,y，表示該點的橫坐標和縱坐標。

Output

　　最大的多邊形面積，答案精確到小數點後3位。

Sample Input

　　5
　　0 0
　　1 0
　　1 1
　　0 1
　　0.5 0.5

Sample Output

　　1.000

HINT

　　數據範圍 n<=2000，|x|,|y|<=100000。

Solution

　　求N個點中最大四邊形的面積，然而實際上這道題求的是凸四邊形的面積，數據中似乎並沒有三角形凸包這種東西。

　　我們回顧一下經典問題，在N個點中取出面積最大的三角形怎麽做。

　　首先我們很容易得出，最大三角形的3個點肯定都在凸包上。

　　所以先求出N個點的凸包，然後用旋轉卡殼來做：

　　設A1~AM為凸包上逆時針順序排列的點。

　　枚舉三角形底邊一端點Ai，求出距離AiAi+1最遠的凸包上的點Ak；

　　然後從Ai+1起枚舉三角形底邊另一端點Aj，根據Ak求出距離AiAj最遠的凸包上的點Ak‘。

　　因為j從i+1開始遞增，所以k‘也從k開始單調遞增；

　　同理又因為i是單調遞增，k也是隨著i單調遞增。

　　以上兩行就是巧妙地利用旋轉卡殼在O(n^2)的時間內解決了最大三角形的問題。

　　旋轉卡殼實際上就是用在二次函數上的三分法求得最遠點。

　　最大三角形可以做，最大四邊形不是同樣的思路嗎？（想好了再往下看吧）

　　三角形是枚舉底邊，四邊形枚舉對角線就行啦。

　　在對角線兩邊各做一個旋轉卡殼就行，其實就是相當於兩邊各找一個最大三角形。時間復雜度還是O(n^2)。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MN 2005
#define eps 1e-12
using namespace std;
struct vec
{
    
 
double x,y;
    friend vec operator-(const vec& a,const vec& b) {return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};}
    friend double operator/(const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    friend double abs(const vec& a) {return a.x*a.x+a.y*a.y;}
}a[MN],q[MN<<1];
int n,tp;
double ans;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<‘0‘ || c>‘9‘) {if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) {n=n*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return n*f;
}

bool cmp1(const vec& A,const vec& B) {return A.y<B.y||A.y==B.y&&A.x<B.x;}
bool cmp2(const vec& A,const vec& B) {return (A-a[1])/(B-a[1])>=eps;}
inline bool check(const vec& A,const vec& B,const vec& C)
{
    vec AB=B-A,AC=C-A;
    if (AB/AC<0) return true;
    else if (AB/AC<eps&&abs(AB)<abs(AC)) return true;
    return false;
}

int main()
{
    register int i,j,uj,luj,ldj;
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+n+1,cmp1); sort(a+2,a+n+1,cmp2);
    for (q[tp=1]=a[1],i=2;i<=n;q[++tp]=a[i++])
        for (;tp>1&&check(q[tp-1],q[tp],a[i]);--tp);
    for (i=1;i<=tp;++i) q[tp+i]=q[i];
    for (i=1,uj=4;i<=tp;++i)
    {
        for (;(q[i+2]-q[i])/(q[uj+1]-q[i])>(q[i+2]-q[i])/(q[uj]-q[i]);++uj);
        for (j=i+2,ldj=i+1,luj=uj;j<=i+tp-2;++j)
        {
            for (;(q[j]-q[i])/(q[luj+1]-q[i])>(q[j]-q[i])/(q[luj]-q[i]);++luj);
            for (;(q[ldj+1]-q[i])/(q[j]-q[i])>(q[ldj]-q[i])/(q[j]-q[i]);++ldj);
            ans=max(ans,((q[j]-q[i])/(q[luj]-q[i])+(q[ldj]-q[i])/(q[j]-q[i]))/2);
        }
    }
    printf("%.3lf",ans);
}

Last Word

　　所以最大五邊形也是可以做的咯？

[BZOJ]1069 最大土地面積(SCOI2007)