P1679 神奇的四次方數

題目描述

在你的幫助下，v神終於幫同學找到了最合適的大學，接下來就要通知同學了。在班級裏負責聯絡網的是dm同學，於是v神便找到了dm同學，可dm同學正在忙於研究一道有趣的數學題，為了請dm出山，v神只好請你幫忙解決這道題了。

題目描述：將一個整數m分解為n個四次方數的和的形式，要求n最小。例如，m=706,706=5^4+3^4,則n=2。

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一行，一個整數m。

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一行，一個整數n。

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706

2

說明

數據範圍：對於30%的數據，m<=5000;對於100%的數據，m<=100,000

由記憶化遞歸的參數推出DP的狀態及狀態轉移方程

完全背包問題

洛谷題解：

這道題目我們使用背包問題的思想來做。

這裏，我們先把每一個四次方數打表。打到什麽位置呢？

通過簡單的推理，我們發現，只要打到\sqrt[4]{m}4m?的4次方就夠了。

為什麽呢？因為為了湊出這個數，我們肯定用比他小的數來湊，如果超過了\sqrt[4]{m}4m?，就不可能用上了。

因此我們也可以用樓下的方法，打表打到18，因為{18}^{4}184已經超過了max(m)={10}^{5}max(m)=105。

然後，以每一個四次方數為體積，1為物品重量，做完全背包（壓維）。

特殊在於，f數組初始化為Inf.初值設置f_0=0f0?=0，那麽最終的結論就是f_mfm?。

代碼：

（其實這篇題解最重要的是下面這個部分）。

Extra：若把四方數改為平方數，那麽做法也是一樣的；

不過這時有一個定理，叫拉格朗日四方和定理。有興趣的同學可以自行查閱。

它的大概意思就是，任何自然數都可以表示為n個平方數之和（n<=4）。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #define min(x,y) (x<y?x:y)
 5 const int MAXN=200010;
 6 int s[MAXN],f[MAXN];
 7 int m;
 8 
 9
 
 int main()
10 {
11     scanf("%d",&m);
12     for(int i=1;i<=m;i++)
13         f[i]=1e8;
14     int n=ceil(sqrt(sqrt(m))+1);
15     for(int i=1;i<=n;i++)
16         s[i]=i*i*i*i;
17     for(int i=1;i<=n;i++)
18         for(int j=s[i];j<=m;j++)
19             f[j]=min(f[j],f[j-s[i]]+1);
20     printf("%d\n",f[m]);
21 }

這道題……比較容易看出來是個完全背包問題~

只不過要我們求最小值

遞推關系f[v]=max{f[v],f[v-w[i]+c[i]]}

這裏我們讓i=1 to 18 (18^4>100000)

w[i]=i*i*i*i;c[i]=1;這裏我們可以省略掉c[i]數組了

我們只需要將f[i]初始化為inf並且f[0]=0;

還有一些微小的改動

具體參考代碼：

#include<bits/stdc++.h>
int f[200001],w[200001],n=18,m;
using namespace std;                    //全局變量部分
int main()
{
    memset(f,0xf,sizeof(f));          
    f[0]=0;cin>>m;                      //初始化數據
    for(int i=1;i<=n;i++)
        w[i]=i*i*i*i;
    for(int i=1;i<=n;i++)                    //完全背包
        for(int v=w[i];v<=m;++v)
        if(f[v]>f[v-w[i]]+1)
            f[v]=f[v-w[i]]+1;
    cout<<f[m];
}

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