題意

給出a,n滿足n是奇數，$1<a,n\leqslant 1000000$，求雅可比符號$\left(\frac{a}{n}\right)$

分析

可以拿定義硬上，因子分解然後用勒讓德符號

勒讓德符號的歐拉判別法：設p是奇素數，a是不被p整除的正整數，則

$\left(\frac{a}{n}\right)=a^{\frac{n-1}{2}} (mod\,p)$

雅可比符號是勒讓德符號的推廣

設n是正奇數，其素冪因子分解式為$n={p_1}^{t_1}{p_2}^{t_2}\cdots{p_m}^{t_m}$

令a是與n互素的正整數，則雅可比符號定義是

$\left(\frac{a}{n}\right)=\prod\limits_{i=0}^{m}\left(\frac{a}{p_i}\right)^{t_i}$

其中等式的右邊是勒讓德符號

這裏給出另外一種方法，類比於歐幾裏得算法

設a和b是正整數，令$R_0=a,R_1=b$，利用帶余除法，並提取出余數中2的最高次冪得

$R_0=R_1q_1+2^{s_1}R_2$

其中$s_1$是非負整數，$R_2$是小於$R_1$的正奇數

反復使用帶余除法，並提取出余數中的2的最高次冪得

$R_1=R_2q_2+2^{s_2}R_3$

$R_2=R_3q_3+2^{s_3}R_4$

$\cdots$

$R_{n-3}=R_{n-2}q_{n-2}+2^{s_{n-2}}R_{n-1}$

$R_{n-2}=R_{n-1}q_{n-1}+2^{s_{n-1}}\cdot 1$

計算雅可比符號的定理：

$\left(\frac{a}{b}\right)=(-1)^{\sum\limits_{i=1}^{n-1}(s_1\frac{{R_i}^2-1}{8}+\frac{(R_i-1)(R_{i+1}-1)}{4})}$

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int r[100],s[100];
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int jcb(int a,int b){
    if(gcd(a,b)>1)return 0;
    r[0]=a;r[1]=b;
    memset(s,0,sizeof s);
    int n=1;
    while(r[n++]!=1){
        r[n]=r[n-2]%r[n-1];
        while(r[n]&1^1)r[n]>>=1,s[n-1]++;
    }
    int p=0;
    for(int i=1;i<n;i++)r[i]&=7,s[i]&=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        p^=(s[i]*((r[i]*r[i])-1)/8)&1;
        p^=((r[i]-1)*(r[i+1]-1)/4)&1;
    }
    return 1-2*p;
}
int main(){
    int a,n;
    while(~scanf("%d%d",&a,&n)){
        printf("%d\n",jcb(a,n));
    }
    return 0;
}

HDU3589-雅可比符號