雅可比矩陣和海森矩陣

阿新 • • 發佈：2019-01-29

雅可比矩陣

假設F:R_n→R_m 是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函式。這個函式由m個實函式組成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 這些函式的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$

此矩陣表示為：

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$ ，或者 $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.$

這個矩陣的第i行是由梯度函式的轉置y_i(i=1,...,m)表示的

在數學中，海森矩陣（Hessian matrix 或 Hessian）是一個自變數為向量的實值函式的二階偏導數組成的方塊矩陣，此函式如下：

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$

如果 f 所有的二階導數都存在，那麼 f 的海森矩陣即：

$H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)$

其中 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，即

$H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}$

雅可比矩陣和海森矩陣