歐拉回路：

　　歐拉回路，俗稱一筆畫，比如一筆畫五角星等。

　　這裏給出非嚴謹的定義：歐拉回路即從一個點出發，不重復、不遺漏地經過所有的邊與所有的點，並恰好回到出發點。

　　包含歐拉回路的圖稱為歐拉圖。

　　歐拉回路在有向圖、無向圖和混合圖（存在有向邊和無向邊）上有不同的求法，不過原理上是類似的。

判斷方法：

　　有向圖：

　　　　研究歐拉回路的性質我們發現：在有向圖的歐拉回路中，每一個點，一定是若幹次一進一出，否則無解。

　　　　因此要求每一個點的入度=出度。

　　無向圖：

　　　　類似有向圖，在無向圖的歐拉回路中，每一個點也是若幹次一進一出。

　　　　因此要求每一個點的度數為偶數。

　　混合圖：

　　　　這下就不好考慮了，我們需要使用網絡流建模。我們想辦法從出度和入度入手。

　　　　首先看每一條有向邊$(u,v)$，它們一定會為$u$提供1的出度，為$v$提供$1$的入度。

　　　　其次看每一條無向邊$(u,v)$，由於其無向，我們暫且隨便定一個方向（幹脆就$u$->$v$好了），為$u$提供1的出度，為$v$提供1的入度。

　　　　現在每個點的出度和入度看起來是亂七八糟的了。我們期望的，是一個點的出度與入度平衡。

　　　　由於有向邊已經固定，沒法改變它們對出入度的貢獻，那麽現在要做的，是將某一些無向邊反向，使得所有點的出入度平衡。

　　　　一條邊一反向，就會將某一度$-1$，將另一度$+1$。由此如果一個點出入度之差為奇數，那麽一定不可能通過無向邊的調整使它平衡，此時一定無解。

　　　　設一個點$u$的出度為$out$，入度為$in$。

　　　　　如果$out>in$，那麽從這個點出發的邊太多。它提供$x=\frac{1}{2}(out-in)$條出邊可以反向。這樣會給每一條出邊的終點的$out+1$，$in-1$。那麽由源點$S$向$u$連一條容量為$x$的邊。

　　　　　如果$in>out$，那麽到達這個點的邊太多。它提供$x=\frac{1}{2}(in-out)$條邊可以反向。這樣會給每一條入邊的起點的$out-1$，$in+1$。那麽由$u$向匯點$T$連一條容量為$x$的邊。

　　　　基於上述關系，$out>in$的點集可以給$in>out$的點集提供邊，使得雙方都盡可能平衡，即多的給少的。

　　　　那麽對於原圖中每一條無向邊$(u,v)$，剛剛定的方向是$u$->$v$才得出當前的度數，那麽由$u$向$v$連一條容量為$1$的邊就好。

　　　　跑最大流，看由$S$出發的邊是否全部滿流：如果是，則存在歐拉回路；否則不存在歐拉回路。因為這些邊滿流，代表$out>in$的點已經平衡，可以發現$in>out$的邊也恰好平衡了。

　　　　如何輸出歐拉回路？根據上述建模方法，如果存在歐拉回路，對於中間的點互連的容量為$1$的邊，如果流量為0該無向邊就這麽定向，如果流量為1，所對應的無向邊應該要反向。有向邊直接輸出即可。

【Learning】 歐拉回路的求解