全國高中數學聯賽

中國數學奧林匹克

如何評價 2017 年中國數學奧林匹克（33 屆全國中學生數學冬令營）試題？

(鄧煜2017-12-06)就點評一下第三題吧，剛好最近做的東西和有理逼近有點關系所以還挺excited的……

設 ，如果要估計 的下界那麽最好只能做到 （Liouville定理……什麽Roth定理就別想了），所以題目加上了個 。假設 和 都很接近整數，然後呢？最簡單的想法是我們多了一個條件，所以想通過組合它們得到更精確的逼近。這就引出形如 的量來。為了能控制它的小數部分我們需要 很小但不能太小。

引理 對任何L，存在整數滿足 ，不全為0，使得 。

證明 設 為q的另兩個三次方根，由

原題 設 ，取 ，並按引理取 ，則由引理可得 。又 與整數的距離不超過 ，於是 ， 。

這裏常數差得比較多（好像標準答案能做到 ），但好處在於可以立即推廣到任意代數數：若 是m次代數數，則對任何 有 。

先挨個評點一下題目，順序按我看了解答後私以為的難度順序從易到難:

1是送分題幾乎無懸念的，直接設 (顯然得這麽設)然後二項式展開 就結束了。也可以看做是指數提升引理的直接應用。反正沒什麽難度，除了過程長之外完全是一道聯賽1/2級別的題

2也是半送分題

4有很多人的評價是道聯賽1/2幾何，但個人認為作為一道純幾何應該並沒有那麽簡單，有大量的大神用的是三角法計算/沒做出來（即幾何偏弱的國集選手做它是有困難的）。不過總的來說應該是半送分題

6一道蠻有區分度的題，但仍然屬於半送分題。各種解法(比如固定 差然後做商，用調整法把 調到頂點，之後用均值把 調整到正的全相等，負的全相等，然後剩二元隨便幹[比如求導，局部之類的都是不難的做法])都不難想到，屬於常見套路

3是一道很好的好題，除了區分度略低之外。如果網上流傳的付雲皓老師的五行證明(就是均值+奇異公式那個)是標答的話，那麽這道題簡直滿足好題的所有定義(解答短且易，思路難且坑多)

5貌似是一道屠場題，目前不知道有人做了出來。據說俄羅斯都全掛。

之後再發表一些個人看法/評價:

1.題目結構是1(or2,如果第四題算的話)送分，3(or2)半送分，1巨難，1屠場。區分度較低，進隊只需接住送分+過程寫得好+會"騙分"即可（有人嘲諷它是“過程書寫奧林匹克”，但個人認為整理好自己的思路，把過程寫清楚不丟分也是數學中很重要的一部分）

2.5和6的順序也許是故意顛倒。就算老師視角看題的難度和學生視角不一，也不至於差這麽多，5和6根本就不在同一等級。同時，這樣並不符合1245ACGN各1的規律。個人推測是故意顛倒以模仿IMO賽場可能出現的意外情況，測試學生心理素質(篩去部分因為3會放棄6的學生)

以上

以及求求那群"謝邀，但我沒搞過競賽"的那群人能不能不要尬答了，很浪費閱讀者時間的。

P.S.順手慶祝一下北京12個國集，希望國家隊人數上能再突破一下

如何學習數學競賽

題主高一，女生，剛開始選競賽的時候放棄了機會，去學踢足球了，現在不知道老師還會不會拉我進去，是否可以完全自學，那麽需要哪些知識儲備？
（我在數學最好的教改班，考試數學萬年第二，年級在前十波動。另外語數英三科在年級前二波動。）https://www.zhihu.com/question/40448170

(高繼揚2016-02-19)先回答樓主的問題吧，最好讓老師教你。自學不是不可以，但在數學競賽上自學很容易走彎路，比如受到一些非典型的題目解法的影響而改不過來（見過很多），真正的考試題反而不適應。最好有一個老師帶著你入門，幫你遴選訓練題，等有一定基礎知道該學什麽再自學。

而知識儲備方面，可以說多也可以說少。
少是相對於理化生競賽來說的。競賽大綱就那麽一點內容，真正需要學的知識點不過解析幾何，三角函數和復數（空間幾何競賽不考），這些以樓主的綜合水平看應該沒什麽問題，這些是一定要掌握的。 但是多是指它的方法和思維變化無窮。隨便拿一道競賽題吧：求證存在無窮多個整數n使得沒有平方約數（1不算） 你學過整除之後就可以看的懂這道題，但是看懂和做出來是完全兩碼事。當然這道題也不是很難，只要稍微有一點數學分析的思想就可以秒殺了。那我能說學整除就夠了學數學分析算什麽，但是真正有用的不是知識而是背後的思想。如果不這樣那費馬大定理和哥德巴赫猜想也不會難倒那麽多數學家了。（當然這其實也正是數學競賽最吸引人的地方）

所以說這裏是想告訴樓主要多用知識武裝自己，要勤練習。基本知識學完後看藍色小叢書或者單墫老師的數學競賽研究教程，中等數學的增刊一二也要刷，一試二試模擬題練起來，有空的話可以去看看二潘的初等數論，對數論學習也很有幫助。這些是需要時間和精力的，高一一點都不晚 但是需要從現在開始努力。正如樓上說的那樣，這絕不是一條捷徑。

此外，題主沒有提到自己的學校和地區，但是弱省和強省的差距是非常大的，比如新疆一年來CMO的只有四五個人，但北京卻可以有25人，哪個考出來的難度大？在本地的超級中學和在一所小學校區別也非常大。就拿我所在的學校來說吧，我們這裏的冬令營名額常年被三所超級中學瓜分，其他學校五年總共只有一個人進了冬令營，在哪裏成功的概率大一點？這裏面當然有資源分配的因素，比如好學校才有好老師，才能提供條件天天供你練習，所以希望答主慎而又慎。

這裏也不是在潑樓主冷水啊。數學競賽本質上和足球一樣都是一種“競技”，只不過這個是腦力的而已。你如果真心喜歡的話就去做吧！
p.s. 之前提到的那唯一一位非超級中學的同學後來進了IMO，所以說一切皆有可能～
p.p.s 樓主說自己是女生，那麽可以問問自己的學校有沒有CGMO的名額，有的話可以嘗試一下，前十二還可以各種福利（廣大男同胞哭瞎）

中學數學競賽的經驗