定義

關鍵路徑是指設計中從輸入到輸出經過的延時最長的邏輯路徑（從起點到終點的最長路徑）。

最簡單的求解辦法

有了這個概念就可以求解大部分常見問題啦，比如下面這個AOE網，求一下關鍵路徑和關鍵路徑長度

不就是最長的路徑嘛？像這種題如果是選擇、填空或者簡答題，最簡單的辦法就是列出所有路徑長度，找出最長的，就是答案了。此題有2個關鍵路徑，即V1-V2-V5-V7和V1-V4-V5-V7，長度都是10，答案就出來了。大概用時不到半分鐘，如果按步驟用正常方法，估計至少需要幾分鐘的時間。

常規求解辦法

但是遇到求解下面一些概念的時候，則不得不按常規方法做了：

（1） 事件開始的最早時間ve(i)；
（2） 事件開始的最晚時間vl(i)；
（3） 活動開始的最早時間e(i)；
（4） 活動開始的最晚時間l(i) ；

定義e(i)=l(i）的活動叫關鍵活動，也就是關鍵路徑上的活動；

下面還是以上圖為例，求解上面4個時間（註意AOE網中頂點代表事件，邊代表活動）：
求解順序是，先求ve(i)，然後是vl(i)，再然後根據這兩個即可分別求得vl(i)、l(i)。

還是這個圖：

ve(i)：

從起點開始向終點找
先看V1，作為第一個事件，V1的最早開始時間ve(i)毫無疑問應該是0；
然後是V2，從V1到它只有一條路徑(a1=3)，那麽它的最早開始時間應該是0+3=3；
同理V3，應該就是0+2=2；
重點是V4，從V1到它有3條路徑，分別是(a1=3,a5=2)、(a2=6)、(a3=2,a6=1)，其中第二個路徑最長為6，第3個最短為3。由最早開始，容易想到路徑最短，但是要註意AOE網下面的性質（2）：
（1）只有在某頂點所代表的事件發生後，從該頂點出發的各有向邊所代表的活動才能開始。
（2）只有在進入某點的各有向邊所代表的活動都已結束，該頂點所代表的時事件才能發生。

小結：Vi的最早開始時間ve(i)就是從起點到它的最長路徑；

vl(i)：

從終點開始向起點找
先看V7，算V7的ve(i)時就已經得出，從起點到它最多需要10，所以它的最晚開始時間vl(i)也不能再多於10 了，也即vl(i)=ve(i)=10。
然後是V6，V7最晚開始是10，而V6到V7需要4，所以V6再晚也不能晚於10-4=6吧；
同理V5，是10-3=7，V4，是7-1=6；
重點是V2，有V4和V5兩個事件限制它，V5需要它最晚不能晚於7-4=3，V4需要它不能晚於6-2=4，
所以它最晚不能晚於3不難理解吧？

小結：從終點倒推，終點的vl(i)=ve(i)

所有事件的ve(i)和vl(i)：

有了ve(i)和vl(i)，e(i)和l(i)就好求了：

e(i):

ai的e(i)就等於ai的起點(弧頭)事件的ve(i)，比如a1、a2、a3的e(i)等於V1的ve(i)都是0，a4的e(i)是3；

l(i):

ai的l(i)就等於ai的終點(弧尾)事件的vl(i)減去ai，比如a7的l(i)是V7的vl(i)減去ai，即10-4=6，a5、a2、a6的l(i)分布是6-2=4、6-6=0、6-1=5

最終結果：

其中e(i)=l(i)即e(i)-l(i)=0的活動，就是關鍵活動啦。

其他需要註意概念與性質

（1） 求關鍵路徑必須在拓撲排序的前提下進行，有環圖不能求關鍵路徑；
（2） 只有縮短關鍵活動的工期才有可能縮短工期；
（3） 若一個關鍵活動不在所有的關鍵路徑上，減少它並不能減少工期；
（4） 只有在不改變關鍵路徑的前提下，縮短關鍵活動才能縮短整個工期。

註意這個“有可能”，還是以上題為例，如果把關鍵活動a4由4縮短為3，並不能縮短關鍵路徑的長度，它還是10，因為這樣V1-V4-V5-V7的最長度為9，已經不是關鍵路徑了；
那麽把公共的關鍵活動a9由3縮短為2呢？這樣是可以的，關鍵路徑長度變為9；
把a9由3縮短為1呢？那V1-V2-V5-V7和V1-V4-V5-V7就都不是關鍵路徑了；

習題

試試下面兩個題？

按簡單方法，是不是幾秒鐘就可以選出正確答案？
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正確答案：A
從上至下第一條路徑的長度就是20，而選項裏最大就是20。

能有效縮短關鍵路徑長度的方法是（）。
A．縮短任意一個活動的持續時間
B．縮短關鍵路徑上任意一個關鍵活動的持續時間
C．縮短多條關鍵路徑上共有的任意一個關鍵活動的持續時間
D．縮短所有關鍵路徑上共有的任意一個關鍵活動的持續時間

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正確答案：D
關鍵路徑是始點和終點間的最長路徑，只有所有關鍵路徑的長度都縮短，整個圖的關鍵路徑才能有效縮短，但也不能任意縮短，一旦縮短到一定程度，該關鍵活動可能變成非關鍵活動了。

網絡計劃——關鍵路徑相關問題