n<=1e6個數，把他們修改成遞增序列需把每個數增加或減少的總量最小是多少？

方法一：可以證明最後修改的每個數一定是原序列中的數！於是$n^2$DP（逃）

方法二：把$A_i$改成$A_i-i$，變論文題：論文

大概證明是這樣的：考慮合並兩個區間的答案，假如一個區間答案是{u,u,u,……,u}，另一個是{v,v,v,……,v}，那合並之後，如果u<=v最優就{u,u,……,u,v,……,v}；如果u>v，假設最優是

{b1,b2,……,bn,bn+1,……,bm}，那麽一定有bn<=u，否則把前半部分改成{u,u,……,u}不會更差。同理bn+1>=v。

這裏有個不懂的地方：

因此可以把他改成{bn,bn,……,bn,bn+1,……,bn+1}，不會更差。可以用幾何意義感性理解一下：左邊離u越近越優，右邊離v越近越優。

然後由於bn<=u，bn+1>=v，本著“bn能大就大，bn+1能小就小”的原則讓bn=bn+1。於是合並後的最優解為{w,w,w,……,w}，最優的w是誰呢？肯定是整個區間的中位數啦。

然後就可以可並堆做一波合並了，因為這裏合並後中位數只會變小，可以維護一個區間的一半小的數或一半大的數，合並兩個區間時，如果兩個區間大小都是奇數，則堆裏會多出一個數，刪之。

可並堆常需合並特定點所在的堆，因此常與並查集連用。千萬別並查集懵逼了！！因為並查集操作失誤調了一晚上。。

 1 #include<string.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 #include<stdio.h>
 4 #include<math.h>
 5 //#include<assert.h>
 6 #include<algorithm>
 7 //#include<iostream>
 8 using namespace std;
 9 
10 int n;
11 #define maxn 1000011
12 int root[maxn];
13 int find(int x) {return x==root[x]?x:(root[x]=find(root[x]));}
 
14 struct leftist
15 {
16     struct Node
17     {
18         int v,ls,rs,dis,size;
19     }a[maxn];
20     int size;
21     leftist() {a[0].dis=-1;}
22     int merge(int x,int y)
23     {
24         if (!x || !y) return x^y;
25         if (a[x].v<a[y].v) {int t=x; x=y; y=t;}
26         a[x].rs=merge(a[x].rs,y);
27         if (a[a[x].ls].dis<a[a[x].rs].dis) {int t=a[x].ls; a[x].ls=a[x].rs; a[x].rs=t;}
28         a[x].dis=a[a[x].rs].dis+1;
29         a[x].size=a[a[x].ls].size+a[a[x].rs].size+1;
30         return x;
31     }
32     void push(int x,int &root,int val)
33     {
34         a[x].v=val; a[x].ls=a[x].rs=a[x].dis=0; a[x].size=1;
35         root=merge(root,x);
36     }
37     int top(int root) {return a[root].v;}
38     void pop(int &root) {root=merge(a[root].ls,a[root].rs);}
39 }q;
40 
41 int a[maxn],sta[maxn],die[maxn],top;
42 int main()
43 {
44     scanf("%d",&n);
45     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;
46     for (int i=1;i<=n;i++)
47     {
48         q.push(i,root[i],a[i]); int x,y;
49         while (top && q.top(x=find(root[sta[top]]))>q.top(y=find(root[i])))
50         {
51             bool flag=0;
52             if (((sta[top]-sta[top-1])&1) && ((i-sta[top])&1)) flag=1;
53             root[x]=root[y]=q.merge(x,y); x=root[x];
54             if (flag) die[x]=1,q.pop(root[x]),root[root[x]]=root[x];
55             top--;
56         }
57         sta[++top]=i;
58     }
59     #define LL long long
60     LL ans=0;
61     for (int i=1;i<=n;i++) ans+=fabs(a[i]-q.top(find(root[i])));
62     printf("%lld\n",ans);
63     return 0;
64 }

可並堆試水--BZOJ1367: [Baltic2004]sequence