T 分布(近似標準正態分布)
1.1 定義
定義:假設X服從標準正態分布N(0,1),Y服從 卡方分布,那麽 的分布稱為自由度為n的t分布,記為 。
分布密度函數 ,其中,Gam(x)為伽馬函數。
可用於兩組獨立計量資料的假設檢驗。
由於在實際工作中,往往σ(總體方差)是未知的,常用s(樣本方差)作為σ總體方差的估計值,為了與u變換(正態化變換)區別,稱為t變換,統計量t 值的分布稱為t分布。【u分布也叫標準正態分布】
u變換:[(X-μ)/σ]轉化成標準正態變量u,以使原來各種形態的正態分布都轉換為μ=0,σ=1的標準正態分布(standard normaldistribution),亦稱u分布。
在概率論
經常應用在對呈正態分布的總體的均值進行估計。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學生t測定的基礎。t檢定改進了Z檢定(en:Z-test),不論樣本數量大或小皆可應用。在樣本數量大(超過120等)時,可以應用Z檢定,但Z檢定用在小的樣本會產生很大的誤差,因此樣本很小的情況下得改用學生t檢定。
t分布曲線形態與n(確切地說與自由度df)大小有關。與標準正態分布曲線相比,自由度df越小,t分布曲線愈平坦,曲線中間愈低,曲線雙側尾部翹得愈高;自由度df愈大,t分布曲線愈接近正態分布曲線,當自由度df=∞時,t分布曲線為標準正態分布曲線。
當總體的標準差是未知的但卻又需要估計時,我們可以運用t-分布。
【特征】:
(1)以0為中心,左右對稱的單峰分布;
(2)其數學期望E(Z) = 0,n>1;方差D(Z)=n/n-2 , n>2 。
(3)t分布是一簇曲線,其形態變化與n(確切地說與自由度df)大小有關。自由度df越小,t分布曲線越低平;自由度df越大,t分布曲線越接近標準正態分布(u分布)曲線;
(4)隨著自由度逐漸增大,t分布逐漸接近標準正態分布。
【本質】:
T分布本質上和標準正態分布沒有太大本質差別,可以說就是標準正態分布的一個近似分布。而標準正態分布只是正態分布的一個特殊情況。綜上,從本質上說,T分布就是正態分布的一種特殊的近似。
t分布是正態分布的小樣本形態。
①正態分布是與自由度無關的一條曲線; t分布是依自由度而變的一組曲線。
② t分布較正態分布頂部略低而尾部稍高。
T 分布(近似標準正態分布)