設 $(X,\mathscr{A})$ 是可測空間, $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_N$ 是其上的有限正測度, 且無原子. 則

$$M:=\left\{(\mu_1(A),\mu_2(A),\cdots,\mu_N(A))^T\big| A\in \mathscr{A}\right\}$$
是 $\mathbb{R}^N$ 中的凸集.


命 $\mu=\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_N$, 則 $\mu_i\ll \mu, i=1,2,\cdots,N$. 記
$$W=\{g\in L^\infty(X,\mathscr{A},\mu):0\leq g\leq 1\}.$$
定義
\begin{equation*}
\begin{split}
T: &W\rightarrow \mathbb{R}^N\\
&g\longmapsto \left(\int_X gd\mu_1,\int_X gd\mu_2,\cdots,\int_X gd\mu_N\right)^T.
\end{split}
\end{equation*}
由Alaoglu定理, $L^\infty(X,\mathscr{A},\mu)$ 的單位球是弱 $^*$ 緊的, 下面證明 $W$ 是弱 $^*$ 閉的. 事實上, 若 $(g_i)$ 弱 $^*$ 收斂到 $g$, 即對任何 $f\in L^1(X,\mathscr{A},\mu)$, 有
$$\int_X fg_id\mu\rightarrow \int_X fgd\mu.$$
取 $f=1_{\mathbb{E}_n}$, 其中
$$E_n=\left\{x:g(x)\geq 1+\frac{1}{n}\right\}.$$
則有
$$\int_{E_n} g_id\mu\rightarrow \int_{E_n} gd\mu.$$
而
$$\int_{E_n} g_id\mu\leq \mu(E_n),$$
所以
$$\int_{E_n} gd\mu\leq \mu(E_n).$$
另一方面,
$$\int_{E_n} gd\mu\geq \left(1+\frac{1}{n}\right)\mu(E_n).$$
所以有
$$\mu(E_n)=0.$$
由此可知,
$$g\leq 1,\quad \mathrm{a.e.}$$
同理可證,
$$g\geq 0,\quad \mathrm{a.e.}$$
所以 $g\in W$, 即 $W$ 在 $L^\infty(X,\mathscr{A},\mu)$ 中是弱 $^*$ 閉的, 從而是弱 $^*$ 緊的.

下證~$T$~是弱~$^*$~連續的. 事實上, 若~$(g_i)$~弱~$^*$~收斂到~$g$, 取
$$f_j=\frac{d\mu_j}{d\mu}\in L^1(X,\mathscr{A},\mu),\quad j=1,2,\cdots,N,$$
則
$$\lim_i\int_X g_id\mu_j=\lim_i\int_Xf_jg_id\mu= \int_Xf_jgd\mu=\int_X gd\mu_j.$$
即~$Tg_i\rightarrow Tg$, 所以~$T$~是弱~$^*$~連續的.

設~$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T\in T(W)$, 我們證明存在~$A\in \mathscr{A}$~ 使得
$$T(1_A)=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T.$$
事實上, 命~$W_0=T^{-1}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T$, 因為~$T$~是弱~$^*$~連續的, 所以~$W_0$~弱~$^*$~閉, 從而弱~$^*$~緊, 且是凸集. 又~$W_0\neq\varnothing$, 由Krein-Milman定理, 存在~$g\in \mathrm{ext}~W_0$. 下證~$g$~為特征函數. 若否, 則存在~$\varepsilon>0$~及~$E\in\mathscr{A}$, $\mu(E)>0$~使得
$$\varepsilon\leq g(x)\leq 1-\varepsilon,\quad x\in E.$$
由於~$\mu_i$~無原子, 所以~$\mu$~無原子.~(僅證明~$n=2$, 若否, 則存在~$F\in\mathscr{A}$~使得~$\mu(F)>0$~且~$E\subset F$~時, 要麽~$\mu(E)=0$, 要麽~$\mu(E)=\mu(F)$. 對於第一種情形, $\mu_1(E)=\mu_2(E)=0$, 可知~$\mu_1(F)=\mu_2(F)=0$)
所以存在~$E_1\subset E$~使得~$\mu (E_1)>0$, $\mu(E\backslash E_1)>0$, 一直下去, 存在互不相交的~$(E_i)_{i=1}^{N+1}$~滿足
$$E=\bigcup_{i=1}^{N+1} E_i,\quad \mu(E_i)>0,~i=1,2,\cdots,N+1.$$
註意到
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_1)\\
\mu_2(E_1)\\
\cdots\\
\mu_N(E_1)
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_2)\\
\mu_2(E_2)\\
\cdots\\
\mu_N(E_2)
\end{pmatrix},
\cdots,
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_{N+1})\\
\mu_2(E_{N+1})\\
\cdots\\
\mu_N(E_{N+1})
\end{pmatrix}
\in\mathbb{R}^N,
\end{equation*}

從而線性相關, 設存在不全為~$0$~的系數~$a_1,a_2,\cdots,a_{N+1}$~使得
\begin{equation*}
a_1\begin{pmatrix}
\mu_1(E_1)\\
\mu_2(E_1)\\
\cdots\\
\mu_N(E_1)
\end{pmatrix}+
a_2\begin{pmatrix}
\mu_1(E_2)\\
\mu_2(E_2)\\
\cdots\\
\mu_N(E_2)
\end{pmatrix}+
\cdots+
a_{N+1}\begin{pmatrix}
\mu_1(E_{N+1})\\
\mu_2(E_{N+1})\\
\cdots\\
\mu_N(E_{N+1})
\end{pmatrix}
=0.
\end{equation*}
我們可要求
$$\sum_{i=1}^{N+1}|a_i|<\varepsilon.$$
取
$$h=\sum_{i=1}^{N+1} a_i 1_{E_i}.$$
則
$$\int_X hd\mu_i=0,\quad i=1,2,\cdots,N+1.$$
註意到
$$g\pm h\in W_0$$
且
$$g=\frac{1}{2}\left(g+h+g-h\right),\quad h\neq 0,$$
這與~$g\in \mathrm{ext}~W_0$~矛盾, 所以~$g$~為示性函數, 從而~$M=T(W)$, 易知~$W$~凸,~$T$~線性, 所以~$M$~凸, 得證.

Lyapunov凸性定理