Description

給定三個正整數N、L和R，統計長度在1到N之間，元素大小都在L到R之間的單調不降序列的數量。輸出答案對10^6+3取模的結果。

Solution

將所有元素\(a[i]\)加上\(i\)之後，就變成求單調上升序列了，那麽\(a[i]\)的取值範圍就是\([L+1,R+n]\)，且只有 \(R-L+n\) 種選擇了
如果要求的序列長度為 \(n\)，那麽答案就是 \(C_{R-L+n}^{n}\)
本題要求的是 \(\sum_{i=1}^{n}C_{R-L+i}^{R-L}\)
設 \(R-L=j\)
要求的就是 \(C_{j+1}^{j}+C_{j+2}^{j}....+C_{j+n}^{j}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10,mod=1e6+3;
int Fac[N];
int qm(int
 
 x,int k){
  int sum=1;
  while(k){
    if(k&1)sum=1ll*sum*x%mod;
    x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
  }
  return sum;
}
inline int C(int n,int m){
  if(n<m)return 0;
  return 1ll*Fac[n]*qm(Fac[m],mod-2)%mod*qm(Fac[n-m],mod-2)%mod;
}
inline int Lucas(int n,int m){
  if(m==0)return 1;
  return 1ll*Lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
}
int
 
 main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int n,L,R,T;cin>>T;
  Fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%mod;
  while(T--){
    scanf("%d%d%d",&n,&L,&R);
    printf("%d\n",(Lucas(n+R-L+1,R-L+1)-1+mod)%mod);
  }
  return 0;
}

bzoj 4403: 序列統計