Description

輸入一個整數n，設\(f(x)=\sum_{i=1}^n x~mod~i\)，你需要輸出 $ f(1),f(2)...f(n)$

Input

一個正整數n。

Output

用空格分隔的n個整數$f(1),f(2)...f(n) $

思路

老師上課講的例題，方法真的很神奇。

觀察樣例，然後再繼續觀察。如果還是沒有發現什麽的話，就模擬打出一張表好了：(橫坐標為x, 縱坐標為y)

有沒有發現什麽神奇的地方。顯然每一橫行加起來就是答案，神奇的是在於縱行！（不要問我怎麽發現的）。

每一縱行的意義即是，對於一個固定的i, x遞增時的\(x ~mod ~ i\)。可以發現它是以i個為循環的數列。

處理上面一個數列復雜度較高，但是我們可以這樣處理：發現對於一個固定的i, x遞增時的\(x-（x ~mod ~ ）i\)，它便是每i項增加i的一個數列。於是我們可以每i個數打一個標記，標記意為增加i。

然後我們可以發現，f(x)可以從f(x-1)推到，便是$f(x-1)+n-1-標記。（類似於前綴和+差分維護吧）

代碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long n,j,temp,ans,tag[MAXN]; //tag數組即為標記

int main(){
  scanf("%lld",&n);
  for(int i=2; i<=n; i++)
      for(int j=i; j<=n; j+=i)
          tag[j]+=i;  //處理tag數組,每i位加i
  for(int i=1; i<=n; i++)
  {
      ans+=n-tag[i]-1;
      printf("%lld ",ans); //遞推得出答案
  }
  return 0;
}
 

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