學習筆記--概率與期望
相關概念
- 基本事件ω(也稱樣本點)：
一次試驗可能出現的每一個直接的
結果。也就是隨機試驗不能夠再分解的結果。
如：E1有兩個基本事件：E1 ={出現正面}，
E2={出現反面}
E2有六個基本事件： Ei ={出現 i 點}，i=1,2,3,4,5,6
樣本空間Ω：全體基本事件的集合。如 E2的樣本空間為 Ω={1，2，3，4，5，6}
隨機事件：試驗的每一個可能結果。
用大寫字母A,B,C 等表示
隨機事件也就是樣本空間的子集，即若幹基本事件組成的集合。
如：在E2中，“出現偶數點”的事件可表示為A= {2，4，6}
事件發生：當事件A所包含的基本事件有一個出現，就說事件A發生了，否則就說事件A未發生
必然事件：一定發生的事件，也就是樣本空間Ω
不可能事件：一定不發生的事件，記為Φ事件包含：如果事件A發生必然導致事件B發生．則稱事件B包含事件A，記作 A? B 或 B ? A
事件的和：事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件稱為事件A 與事件B的和或並，記為A U B 或 A + B
事件的積：事件A與事件B同時發生，這樣的事件稱為事件A與事件B的積或交，記為A∩B 或 AB
事件的和與積可以推廣到多個事件
事件的差：事件A 發生而事件B不發生，這樣的事件稱為事件A與事件B的差，記為A-B。如A={2,4,6}，B={2,3}，
則A-B={4,6}。 A-B就是A的基本事件中去掉含在B中的，余下的基本事件組成的事件。互斥事件：若事件A與事件B不能同時發生(即AB=Φ)，則稱事件A與事件B為互不相容或互斥。若A與B互不相容，就是A與B不含有公共的基本事件
對立事件(互逆)：若事件A與事件B有且僅有一個發生，且AUB=Ω，A∩B=Φ，稱事件A與事件B互為對立事件或互逆事件，其中事件B叫做事件A 的逆事件，記作
，事件A叫做事件B的逆事件，記作
概率的數學定義
設Ω是隨機試驗E的樣本空間，若能找到一個對應法
則，使得對於E的每一事件A都對應一個實數，記為
P(A)，滿足：
非負性： P(A)>=0;
正則性： P(Ω)=1;
可列可加性：若A1, A2, ……, An ……互不相容，則
概率的性質和應用
- P(Φ)=0
- 概率有有限可加性：若AB=Φ，則P(AUB) = P(A)+P(B)
可推廣到 n 個互不相容事件 - P(A)=1 -
- 對任意兩個事件A和B, 有P(B-A)=P(B)-P(AB)
- 對任意兩個事件A和B, 有P(AUB)=P(A)+P(B) - P(AB)
例1：每次從 1,2,……,9中取一個數，連續取n次，求
取出的n個數的乘積能被10整除的概率解：因為 “乘積能被10整除” 意味著：
“取到過5”(記為A) 且 “取到過偶數” (記為B)，因此所求概率為 P(AB)
** 即兩事件同時發生概率 = 1 - 互逆事件之一發生概率**
=1-(8^n + 5^n - 4^n) / 9^n 條件概率
定義 設E為一試驗，A和B為E中兩事件，且 P(A)>0，
則稱P(AB)/P(A)為事件A發生的條件下事件B發生的條
件概率，記作P(B|A)，即P(B|A)= P(AB)/P(A)例2：袋中有5個球，2個黑球，3個白球，現依次取兩
球且不放回，(1)求第二次取到黑球的概率，
(2)若已知第一次取到黑球的條件下，求第二次取到黑球的概率全概率公式----重點
定義 設試驗E的樣本空間為Ω，事件A1,A2,……,An滿足：
- 1°兩兩互不相容
- 2°ΣAi= Ω
- 3° P(Ai)>0
則稱A1,A2,……,An 為 Ω 的一個劃分(分割)
定理 設 Ω為試驗 E 的樣本空間，A 為 E 的一個隨機事件，
B1,B2,……,Bn 為Ω的一個劃分，且有 P(Bi)>0，則
即：事件A發生概率為各個劃分的概率乘以在各個劃分概率的條件下發生A事件概率的的乘積之和。證明：
推論：設Ω為E的樣本空間，A為E的事件，B1,B2,……,Bn互不
相容，且P(Bi)>0，
（事件A必然導致各個B事件發生），則
例3：袋中有5個球，2個黑球，3個白球，依次取兩球，求第二
次取到黑球的概率- 解：設B1表示“第一次取到黑球”的事件，B2表示“第一次取
到白球”的事件，A 表示事件“第二次取黑球”由全概率公式
有
- 解：設B1表示“第一次取到黑球”的事件，B2表示“第一次取
相關概念
一個隨機試驗的可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個樣本空間Ω。隨機變量X是定義於Ω上的函數，即對每一基本事件ω∈Ω，有一數值X(ω)與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例，它的所有可能結果共有6個，分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變量X，就是Ω上的函數X(ωk)=k，k=1,2,…，6
要全面了解一個隨機變量，不但要知道它取哪些值，而且要知 道它取這些值的規律，即要掌握它的概率分布。概率分布可以由分布函數刻畫。若知道一個隨機變量的分布函數，則它取任何值和它落入某個數值區間內的概率都可以求出。
數學期望---重點
- 數學期望(或均值，亦簡稱期望)是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特征之一。它反映隨機變量的加權平均值的大小。此處加權即指該隨機變量對應的概率。
- 設隨機變量X的取值為X1,X2,…..,Xn， P(X1),P(X2),…,P(Xn) 為X對應取值的概率，則：E(X)=X1 P(X1) + X2 P(X2)+…+ Xn P(Xn) =ΣXkP(Xk)
- 例4：扔擲一枚均勻的骰子，直到投出6為止，問平均需要扔擲幾次？
解：設Xk為事件：第k次扔擲才投出6，則P(Xk)=1/6(5/6)^(k-1)，
P(k+1)=5/6P(k)
E(X)=1P(1)+2P(2)+……+kP(k)+……=6具體解釋：E(X)=1×(1/6)+2×(5/6)×(1/6)+...+k×(5/6)^k-1×(1/6)+...=6
對於第一次：得到6概率為1/6，隨機變量為1
對於第二次：第一次沒得到6概率是5/6，第二次得到6概率是1/6，隨機變量是2
...
解得k=6
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