遞歸算法就是通過解決同一問題的一個或多個更小的實例來最終解決一個大問題的算法。為了在C語言中實現遞歸算法，常常使用遞歸函數，也就是說能調用自身的函數。遞歸程序的基本特征：它調用自身（參數的值更小），具有終止條件，可以直接計算其結果。

在使用遞歸程序時，我們需要考慮編程環境必須能夠保持一個其大小與遞歸深度成正比例的下推棧。對於大型問題，這個棧需要的空間可能妨礙我們使用遞歸的方法。

一個遞歸模型為分治法，最本質的特征就是：把一個問題分解成獨立的子問題。如果子問題並不獨立，問題就會復雜的多，主要原因是即使是這種最簡單算法的直接遞歸實現，也可能需要難以想象的時間，使用動態規劃技術就可以避免這個缺陷。

例如，斐波那契數列的遞歸實現如下：

    int F(int i)

    {

             if(i < 1)  return 0;

             if(i == 1) return 1;

              return F(i-1) + F(i - 2);

    }

千萬不要使用這樣的程序，因為它的效率極低，需要指數級時間。相比之下，如果首先計算前N個斐波那契數，並把它們存儲在一個數組中，就可以使用線性時間(與N成正比)計算F。

      F[0] = 0;F[1] = 1;

      for(i = 2; i <= N; i++)

            F[i] = F[i-1] + F[i-2];

這個技術（dp）給了我們一個獲取任何遞歸關系數值解的快速方法。在斐波那契數的例子中，我們甚至可以舍棄數組，只需要保存前兩個值，這種思想有時能大幅代碼，例如HDU-1003的第二種代碼。

由上面的討論我們可以得出這樣的結論：我們可以按照從最小開始的順序計算所有函數值來求任何類似函數的值，在每一步使用先前已經計算出的值來計算當前值，我們稱這項技術為自底向上的動態規劃。只要有存儲已經計算出的值的空間，就能把這項技術應用到任何遞歸計算中，就能把算法從指數級運行時間向線性運行時間改進。

自頂向下的動態規劃甚至是一個更簡單的技術，這項技術允許我們執行函數的代價與自底向上的動態規劃一樣(或更小)，但是它的計算是自動的。我們實現遞歸程序來存儲它所計算的每一個值(正如它最末的步驟)，並通過檢查所存儲的值，來避免重新計算它們的任何項(正如它最初的步驟)。這種方法有時也稱作為備忘錄法(記憶化搜索

斐波那契數--dp+記憶化搜索

通過把所計算的值存儲在遞歸過程的外部數組中，明確地避免重復計算。這一程序計算的時間與N成正比。

                  int F(int i)
                  {

                          if(knownF[i] != unknown)

                                 return knownF[i];

                          if(i == 0) t = 0;

                          if(i == 1) t = 1;

                          if(i > 1)  t = F(i - 1) + F(i - 2);

                          return knownF[i] = t;
                  }

性質：動態規劃降低了遞歸函數的運行時間，也就是減少了計算所有小於或等於給定參數的遞歸調用所要求的時間，其中處理一次遞歸調用的時間為常量。

我們不需要把遞歸參數限制到單整形參數的情況。當有一個帶有多個整形參數的函數時，可以把較小子問題的解存儲在多維數組中，一個參數對應數組的一維。其他那些完全不涉及整形參數的情形，就使用抽象的離散問題公式，它能讓我們把問題分解為一個個的小問題。

在自頂向下的動態規劃中，我們存儲已知的值；在自底向上的動態規劃中，我們預先計算這些值。

我們常常選擇自頂向下的動態規劃而不選自底向上動態規劃，其原因如下：

1 自頂向下的動態規劃是一個自然的求解問題的機械轉化。

2 計算子問題的順序能自己處理。

3 我們可能不需要計算所有子問題的解。

我們不能忽視至關重要的一點是，當我們需要的可能的函數值的數目太大以至於不能存儲（自頂向下）或預先計算（自底向上）所有值時，動態規劃就會變得低效。自頂向下動態規劃確實是開發高效的遞歸算法實現的基本技術，這類算法應納入任何從事算法設計與實現所需的工具箱。

遞歸和動歸