一、貪心算法　

　　定義：一個算法是貪心算法，如果它是通過一些小的步驟來一個求解，並且在每一步根據局部情況選擇一個決定，使得某些主要的指標得到優化。

二、區間調度問題

　　1. 問題：我們有一組需求{1,2,3,......,N},第i個需求與一個開始時間s(i),結束時間f(i)相對應。如果沒有兩個需求在時間上重疊，我們就說需求的子集是相容的。

　　2. 目標：尋找一個最大的相容子集O.

　　3. 算法：

　　　　初始令R是所有需求的集合，設A為空

　　　　　　While ( |R| > 0 )　　

　　　　　　　　選擇一個最早結束的需求

　　　　　　　　把i加入到A中

　　　　　　　　在R中刪除所有與i不相容的需求

　　　　　　End

　　　　　　返回集合A作為被接受的需求的集合

　　　　算法規則：該貪心算法的規則是，每一步選擇一個最早結束的需求，盡快釋放資源。

　　4. 證明算法的正確性：

　　假設O是最優解，由於最優解可能有多個，所以，我們只需要證明|A|=|O|，既證明集合A與集合O包含的需求個數相等。顯然，A,O都是相容的，既A,O中的任意兩個需要都不會重疊。

　　算法思想：該證明主要是想找出這樣一種認識，我們的貪心算法“領先”於這個最優解O. 我們把貪心算法構造的部分解與最優解O初始的一段進行比較，並且證明貪心算法以一步接一步的方式做的更好。

　　假設，A = { i₁,i₂,......,i_k

　　　　　　對任意的i,有 f(i_r) <= s(i_r+1)

　　　　　　對任意的j,有 f(j_r) <= s(j_r+1)

　　現用數學歸納法證明k=m

　　1）r=1 , 顯然有f(i₁) <= f(j₁)

　　　　因為，貪心算法每一步驟都是選擇最早結束的區間，故而有f(i₁) <= f(j₁)

　　2）假設第r-1步有，f(i_r-1) <= f(j_r-1)

　　3）第r步，證明f(i_r-1

　　　　因為O是相容的，故而有：f(j_r-1) <= s(j_r)

　　　　又因為：f(i_r-1) <= f(j_r-1)

　　　　所以：f(i_r-1) <= f(j_r-1) <= s(j_r)

　　　　既：f(i_r-1) <= s(j_r)

　　　　根據以上貪心算法知，在第r步區間j_r 還在R中，而貪心算法的第r步是要在R中選擇一個最早結束的區間i_r,所以有：f(i_r) <= f(j_r)

　 總結: 對任意的r，都有f(i_r) <= f(j_r)

　　現在用反證法證明m=k,既A是最優解：

　　假設A不是最優解，既O中存在一個需求j_k+1，該需求在j_k 結束之後開始，又因為f(i_k) <= f(j_k),故而在需求也在i_k 結束之後開始，故而j_k+1與 i₁,i₂,......,i_k相容，所以j_k+1在R中；而由貪心算法知，該算法結束時R為空，故而矛盾。所以A是其中一個最優解。

貪心算法-區間調度問題解之證明