博弈論 斯坦福game theory stanford week 2.0_
title: 博弈論 斯坦福game theory stanford week 2-0
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notebook: 6- 英文課程-15-game theory
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博弈論 斯坦福game theory stanford week 2-0
混合策略和納什均衡
一個例子
我們從一個例子說起，我們說美國人為了保護自己的利益，在索馬裏設卡安檢，我們不妨考慮這樣的博弈問題，說在索馬裏有很多的路段，安檢者和恐怖襲擊者是博弈者。如果襲擊和安檢發生在同一地點，那麽襲擊者會受到損失，如果不是，襲擊者會得到好處。對於檢查者問題正好相反。
但是由於沒有相應的情報支持，兩者的決策只能依靠隨機進行，並不會產生固定的決策，這樣的策略稱為混合策略。
混合策略，
Kv
就像上面的例子一樣，我們考慮這個決策問題：
兩個人的利益看起來並不能通過固定的選擇方式進行分割，只能通過隨機的選擇，這樣就是混合策略。
下面我們定義下這種決策，
- 決策：
，決策是行動
的一個隨機變量
- 純策略： 在概率中只有一個行為可以采用。
- 混合策略： 在我們的策略中，可以采用多種策略。
在這些策略中，所有的行為稱為策略的支撐。
我們還要定義所有的策略
我們還要定義所有策略的收益
在上述的情況下，我們可以對我們的收益和支出進行概率性的討論。
我們可以定義期望的收益如下：
第一行的公式是說，當前的收益是所有的行為帶來的利益的加權平均值，第二行說我們可以使用貝葉斯公式來計算每一個的可能性。
最優響應和納什均衡
借助最優相應的概率，我們將上述的概率化思想融入進來，
得到一個定理：
每一個完整的博弈都有一個納什均衡
完整的博弈的定義是什麽：只要一個博弈，擁有一定的數量的博弈者，有著一定的行為，有著完整的收益矩陣，那麽就是一個完整的博弈。
做一個說明：我們之前說的沒有納什均衡是說沒有純粹的納什均衡，但是它可以有混合的納什均衡。
比如我們前面提到的例子，如下圖：
我們的混合的納什均衡就是：
這個樣子的
要強調混合的概率是隨著不同的問題決定的，那麽混合的概率是如何決定的呢，我們可以認為當所有的博弈者都不願意再改變他們的概率的時候，就陷入了納什均衡。
納什均衡的計算
一個例子
通過這樣的一個示例我們討論納什均衡的計算方法：
我們不得不說再一般的條件下，納什均衡是十分難以計算的，不過如果你合一對支持進行猜測的情況下，我們可以相對容易的計算納什均衡。
再上圖情況下，我們假設讓一個人選b的概率為，選F的概率就是
再這個情況下，另外一個決策者用混合策略來考慮這個問題，他需要保證對方這兩種博弈行為對自己來說是一種平衡的收益，因為只有這樣，另外一個博弈者的收益才不會因為對方的選擇而發生改變。因此我們采用如下的策略列出方程:
使用混合策略的原因
- 通過隨機性來迷惑你的對手
- 通過隨機性來應對不確定性
多方博弈問題
兩個例子
線性補充問題（linear complementarity problem）
支持計數方法（support enumeration method）
PPAD問題
美國加州大學伯克利分校的克裏斯托斯·帕帕迪米特裏歐(Christos Papadimitriou) 教授定義了PPAD（polynomial parity arguments on directed graphs，有向圖的多項式校驗參數）計算復雜類來描述經濟學中的計算問題。並與其合作者一起證明了在4 人及以上的博弈中，納什均衡的計算是屬於PPAD-Complete 的。
通過上述的圖片可以看到，PPAD問題是一類NP問題。
簡要的發展歷史
- 1928：von 提出兩個人的零和博弈的均衡問題
- 1950：nash 再所有博弈種類提出多人博弈的均衡問題
lemke-howson 算法
LCP問題，線性補充方程問題
其中代表了第i個人使用方案k的概率。
Ai代表了每一個博弈者的行為，那麽
就表達當博弈者1采用j策略的平均獲得。
代表了納什均衡中的獲得，從而
代表了兩者的差距
好吧這裏我們先跳過去。
~~
納什均衡的用例
點球問題
我們可以將點球問題當作是一個博弈的問題，對於一個點球來說，守門員撲球的方向和球員踢球的方向是一種博弈，如果兩者方向相同，那麽球有更大的幾率被撲出。
問題簡化成上述圖片
上述問題是我們已經討論過的了，概率是0.5 0.5，不過如果問題編程了這個樣子呢，如圖：
我們將其中一個，也就是我們認為踢球者的右腳水平比較差，可能不會百分百進球，那麽博弈的納什均衡會發生什麽呢？
我，我們發現納什均衡點發生了移動，守門員傾向於撲向右邊。而球員傾向於撲向左邊。
分別是3/7 4/7 和4/7 3/7
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