題鏈：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4008
題解：

概率dp，神仙題
如果我們可以求出每種牌被取到的概率f，那麽最後期望造成的傷害也就很好計算了。
定義dp[i][j]表示有j輪遊戲在1～i中的某張牌處就結束的概率。
那麽此時我們考慮dp[i][j]會怎樣對f[i+1]造成貢獻：
只剩下了R-j輪遊戲進行到了第i+1張牌，怎麽計算這種情況下第i+1張牌發動技能的概率g呢？
(令p為其發動技能的概率,並給這R-j輪遊戲重新依次編號為1，2,……,R-j)
顯然有:g=p+(1-p)*p+(1-p)^2*p+p……+(1-p)^(R-j-1)*p

接下來考慮如何轉移dp[i][j]:
1.這R-j輪可以進行到第i+1張牌的機會都沒有讓其發動技能：
dp[i+1][j]+=dp[i][j]*(1-p)^(R-j)
2.這R-j輪可以進行到第i+1張牌的機會讓其發動了一次技能：
dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(1-(1-p)^(R-j))

然後就是不斷轉移dp的同時去求出f[]數組。

（真的是神仙題，題解都看了好久，好像第一次遇到這種定義了一個莫名其妙的dp狀態去輔助求出另外一個東西從而得出答案的題。。。）

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[250][150],p[250],f[250],ans;
int d[250];
int N,R,Case;
double fastpow(double a,int b){
	double ret=1;
	for(;b;a=a*a,b>>=1)
		if(b&1) ret*=a;
	return ret;
}
int main(){
	for(scanf("%d",&Case);Case;Case--){
		scanf("%d%d",&N,&R);
		for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]),f[i]=0;
		for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=R;j++) dp[i][j]=0;
		dp[0][0]=1; ans=0;
		for(int i=0;i<N;i++)
			for(int j=0;j<=R;j++){
				double k=fastpow(1-p[i+1],R-j);
				dp[i+1][j]+=dp[i][j]*k;
				if(j+1<=R){
					dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(1-k);
					f[i+1]+=dp[i][j]*(1-k);
				}
			}
		for(int i=1;i<=N;i++) ans+=f[i]*d[i];
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

●BZOJ 4008 [HNOI2015]亞瑟王