前言

• 最近在學習莫比烏斯反演，發現了一個基本上所有的有關莫比烏斯反演的題目，都涉及到一個小的知識點： 整除分塊。
• 所以，在學習莫比烏斯反演之前學會整除分塊是很有必要的。
• 那麽，我就來介紹一下整除分塊這一內容

整除分塊

• 可以用到整除分塊的形式，大致是這樣的：
  \[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]
• 這個式子，\(O(n)\)計算是非常顯然的。但，有的時候因為多組數據的要求，可能\(O(n)\)並不是正確的時間復雜度。那麽這個時候，我們就有一種\(O(\sqrt{n})\)的做法。這就是：整除分塊！

• 對於每一個\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)

  我們可以通過打表(或理性的證明)可以發現：有許多\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的值是一樣的，而且它們呈一個塊狀分布；再通過打表之類的各種方法,我們驚喜的發現對於每一個值相同的塊，它的最後一個數就是\(n/(n/i)\)。得出這個結論後，我們就可以做的\(O(\sqrt{n})\)處理了。
  附一個整除分塊的代碼吧：

  for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
  {
  r=n/(n/l);
  ans+=(r-l+1)*(n/l);
  }

與其他函數的聯系

• 有時候，可能推出來的式子不一定就是一個很裸的整除分塊，可能會與某些積性函數相乘，如：\(\mu,\varphi\)...... 這時候，我們就需要對這些函數統計一個前綴和。因為，每當我們使用整除分塊跳過一個區間的時候，其所對應的函數值也跳過了一個區間。所以此時，就需要乘上那一個區間的函數值。
• (當然，如果當出題人想要考考你的數論能力的話，這時就不是統計前綴和這麽簡單了。可能\(O(n)\)線篩都會TLE，那麽我們就需要杜教篩了)
• (PS:關於杜教篩的內容，我沒過多久就會寫，那時候再填坑吧！)

整除分塊