P3747 相逢是問候 歐拉定理+線段樹
巨難!!!
去年六省聯考唯一的一道黑牌題，我今天一天從早到晚，把它從暴力15分懟到了90分，極端接近正解了。
bzoj上A了，但是洛谷和loj上面就不行。偽正解會T，奇奇怪怪的類正解會WA。。
那麽，網上的題解多得很，我就不細說了。
著重說一下我的理解感受和坑點。
1.不愧是黑牌題，顯得十分的繁雜(並不)。
首先要用到擴展歐拉定理，φ()，還有線段樹輔助，快速冪，大量奇奇怪怪的小細節.....要人命啊。
2.根據之前那題上帝集合，我們可以得知當一個數被操作很多很多很多很多次之後就不變了，成為一個常數。
3.我們首先算出這個次數：phi()到1就是了。特別的，phi(2)=1之後還要再寫個phi(1)=1，否則會錯。證明網上也很多，我比較推崇這個。(該證明並沒有被再次找到......)
4.第一個坑點來了：(c^c^i)%p ≠ (c^((c^i)%p))%p 什麽意思呢？意思就是你改一次之後不能接著改第二次，會WA。打暴力時就是這一點卡停了我的思路。如何解決：真·暴力！從初始值a[i]開始重新改起。我：......
5.解決了上面那一件事之後，我們開始著手研究擴展歐拉公式降次的那個式子。把(c^c^i)%p化開之後再一步步推下去，最後我們可以得到這麽一個可愛的函數：
1 LL cal(int k,int t) 2 { 3 while(t>0) 4 { 5 if(k>=p[t]) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-1初等cal函數]); 6 else k=qpow(c,k,p[t-1]); 7 t--; 8 } 9 return k; 10 }
看，它是如此的Cuty and goffy(?)，這裏有個p[]數組，是之前預處理出來的每一層phi(P)。
6.然後加上一個線段樹，它滋磁區間求和，區間修改(每次修改到底)，並記錄一個times表示修改的次數。
7.當某次修改時，如果times已經=cnt了，就return。否則修改，update。
8.開開心心的一交，又WA又T......
9.仔細觀察發現：那個可愛的cal中的判斷條件if(k>=p[t])顯然有誤。原因是計算卡速米(kasumi)時已經把結果%p[t-1]了，而上一層的p[t-1]就是這一層的p[t]，於是那個if不會觸發。
10.翻看胡雨菲的題解，發現他把kasumi改了下，在kasumi裏記錄flag，保證了正確性。
11.交上去：T了兩個點。90分，bzojAC。本著不放棄不拋棄的原則繼續調試，發現要優化掉kasumi的時間復雜度，預處理一下。
12.那麽怎麽確定flag呢？①也預處理好。②每次在cal裏記錄一個tag，然後用log c p[t]<=tag來判定。
13.首先寫①，寫炸了。然後寫②，解決了T但是又WA了，依舊90分。然後轉①，繼續炸。但是理論上兩種方法都能AC。
14.over。
WA的代碼就不放了。放個11.中的代碼。
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 const int N = 50010; 7 LL a[N],sum[N<<2],times[N<<2],p[N],c,P,cnt; 8 inline LL read() 9 { 10 LL ans=0,f=1;char ch=getchar(); 11 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} 12 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) {ans=ans*10;ans+=(ch-‘0‘);ch=getchar();} 13 return ans*f; 14 } 15 inline LL qpow(LL a,LL b,LL m,bool &flag) 16 { 17 LL ans=1; 18 flag=0; 19 while(b) 20 { 21 if(b&1) 22 { 23 ans=ans*a; 24 if(ans>=m) flag=1,ans%=m; 25 } 26 b=b>>1; 27 a=a*a; 28 if(a>=m) flag=1,a%=m; 29 } 30 return ans; 31 } 32 inline LL phi(LL x) 33 { 34 LL ans=x; 35 for(register int i=2;i*i<=x;i++) 36 { 37 if(x%i==0) 38 { 39 while(x%i==0) x/=i; 40 ans=(ans/i)*(i-1); 41 } 42 } 43 if(x>1) ans=(ans/x)*(x-1); 44 return ans; 45 } 46 inline void pre() 47 { 48 p[0]=P; 49 while(P>1) 50 { 51 p[++cnt]=phi(P); 52 P=p[cnt]; 53 } 54 p[++cnt]=1; 55 P=p[0]; 56 return; 57 } 58 inline void update(LL l,LL r,LL o) 59 { 60 sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1]; 61 times[o]=min(times[o<<1],times[o<<1|1]); 62 return; 63 } 64 inline void build(LL l,LL r,LL o) 65 { 66 if(l==r) 67 { 68 sum[o]=a[r]%P; 69 return; 70 } 71 int mid=(l+r)>>1; 72 build(l,mid,o<<1); 73 build(mid+1,r,o<<1|1); 74 update(l,r,o); 75 return; 76 } 77 inline LL cal(int k,int t) 78 { 79 bool flag=(k>=p[t]); 80 while(t>0) 81 { 82 if(flag) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-1],flag); 83 else k=qpow(c,k,p[t-1],flag); 84 t--; 85 } 86 return k; 87 } 88 inline void add(int L,int R,int l,int r,int o) 89 { 90 if(times[o]>=cnt) return; 91 if(l==r) 92 { 93 times[o]++; 94 sum[o]=cal(a[r],times[o]); 95 return; 96 } 97 int mid=(l+r)>>1; 98 if(L<=mid) add(L,R,l,mid,o<<1); 99 if(mid<R) add(L,R,mid+1,r,o<<1|1); 100 update(l,r,o); 101 return; 102 } 103 inline LL ask(int L,int R,int l,int r,int o) 104 { 105 if(L<=l&&r<=R) return sum[o]; 106 if(R<l||r<L) return 0; 107 int mid=(l+r)>>1; 108 return (ask(L,R,l,mid,o<<1)+ask(L,R,mid+1,r,o<<1|1))%P; 109 } 110 int main() 111 { 112 LL m,n; 113 //scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&P,&c); 114 n=read();m=read();P=read();c=read(); 115 for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();//scanf("%lld",&a[i]); 116 pre(); 117 build(1,n,1); 118 LL flag,x,y; 119 for(register int i=1;i<=m;i++) 120 { 121 //scanf("%d%d%d",&flag,&x,&y); 122 flag=read(); 123 x=read();y=read(); 124 if(flag) printf("%lld\n",ask(x,y,1,n,1)); 125 else add(x,y,1,n,1); 126 } 127 return 0; 128 }90分代碼
題外話：可以看見我加了很多的常數優化，但是洛谷的#9和#11兩個點劇毒。關於WA就放個鏈接吧，可以看出#3和#11比較毒，每次WA都有你們。
15分暴力->90分花了我一個上午。之後下午晚上都在優化那最後10分，還沒搞出來。效率堪憂啊。其實可以搞一搞其他幾道題的。
明天就是省選了。敬請收看：省選醬油記。
P3747 相逢是問候 歐拉定理+線段樹