歐拉函數

歐拉函數，符號記作\(\varphi(n)\)，其值為小於\(n\)且與\(n\)互質的數的個數

性質

①

對於質數\(n\)
\[\varphi(n) = n - 1\]

②

對於\(n = p^k\)
\[\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}\]

③

【積性函數】
對於\(gcd(n,m) = 1\)
\[\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)\]

④

【計算式】
對於\(n = \prod p_i^{k_i}\)
\[\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})\]

⑤

【歐拉定理】
對於互質的\(a,m\)

⑥

小於\(n\)且與\(n\)互質的數的和：
\[S = n * \frac{\varphi(n)}{2}\]

⑦

對於質數\(p\)
若\(n mod p = 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * p\]
若\(n mod p \neq 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)\]

⑧

\[\sum\limits_{d|n} \varphi(d) = n\]
\[\varphi(n) = \sum\limits_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}\]

歐拉函數各種性質