Note

這篇文章涉及幾個歐拉函數的性質

暫時沒有證明，大概寒假的時候會補一下證明

定義

\(\phi(n)\)表示在1~n中與n互質的數

計算式

\[ \large{ 若n根據算術基本定理分解為n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\則\phi(n)=n\prod_{i=1}^{m}\left(1-\frac{1}{p}\right)\也可以變式為\phi(n)=n\prod_{i=1}^m\left(\frac{p-1}{p}\right)\本質是一樣的 } \]

性質1

\[ \large{ \phi是積性函數，但不是完全積性函數\當n,m互質時，滿足:\\phi(nm)=\phi(n)*\phi(m)\那麽顯然，當n根據算術基本定理分解為n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}時\\phi(n)=\prod_{i=1}^m{\phi(p_i^{c_i})} } \]

性質2

\[ \large{ n中與n互質的數的和為：\\phi(n)*n/2 } \]

性質3

\[ \large{ 若p|n且p^2|n，則\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*p\若p|n且p^2\not|\space\space n,則\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1) } \]

這個性質廣泛用於遞推求歐拉函數

性質4

\[ \large \sum_{d|n}\phi(d)=n \]

歐拉函數的幾個性質