方程有解習題
\(\fbox{例1}\)(2017?蚌埠模擬)
已知函數\(f(x)=lnx-x^3\)與\(g(x)=x^3-ax\)的圖像上存在關於\(x\)軸的對稱點，則\(a\)的取值範圍為【 】
A.\((-\infty，e)\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，e]\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\infty，-\cfrac{1}{e})\) \(\hspace{2cm}\) D. \((-\infty，-\cfrac{1}{e}]\)
分析：函數\(f(x)=lnx-x^3\)與\(g(x)=x^3-ax\)的圖像上存在關於x軸的對稱點，即當\(x=x_0\)
所以方程\(f(x)=-g(x)\)有解， 所以\(lnx-x^3=-x^3+ax\)有解，
所以\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，
令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，由導數知識可知，\(f(x)\)在\((0，e)\)上單調遞增，在\((e，+\infty)\)上單調遞減，
又\(f(e)=\cfrac{1}{e}\)，故函數\(h(x)\in (-\infty，\cfrac{1}{e}]\)，故\(a\)的取值範圍為\((-\infty，-\cfrac{1}{e}]\)
\(\fbox{法2}\)
轉換為方程\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即函數\(y=lnx\)和函數\(y=ax\)圖像在\((0,+\infty)\)上有交點，利用數形結合求解；
\(\fbox{法3}\)
接上轉換為方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，即函數\(y=h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)和函數\(y=a\)的圖像有交點，利用數形結合求解；
【姊妹題】(2018陜西省高三第二次質檢第12題)
已知函數\(f(x)=e^x+2(x<0)\)與\(g(x)=ln(x+a)+2\)的圖像上存在關於\(y\)
A.\((-\infty，\cfrac{1}{e})\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，e)\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\cfrac{1}{e}，e)\) \(\hspace{2cm}\) D. \((-e，\cfrac{1}{e}]\)
分析：函數\(f(x)=e^x+2(x<0)\)與\(g(x)=ln(x+a)+2\)的圖像上存在關於\(y\)軸對稱的點，即\(f(-x_0)=g(x_0)\)。
即方程\(f(-x)=g(x)\)有解，
所以當\(x>0\)時，\(e^{-x}+2=ln(x+a)+2\)有解，
即方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)時有解，
即函數\(y=e^x\)與函數\(y=ln(x+a)\)圖像有交點，
如右圖所示可知，當函數\(y=ln(x+a)\)過點\((1，0)\)時，沒有交點，
此時由\(ln(0+a)=1\)可得，\(a=e\)；
又由圖像平移可知，需要將函數\(y=ln(x+a)\)向右移動才會有交點，
故\(a<e\)，即\(a\)的取值範圍是\((-\infty，e)\)，選B.
\(\fbox{例2}\)
若函數\(f(x)=x+alnx\)不是單調函數，則實數\(a\)的取值範圍是 【 】
A.\([0，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，0]\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\infty，0)\) \(\hspace{2cm}\) D. \((0，+\infty)\)
分析：由題意知\(x>0\)，又\(f′(x)=1+\cfrac{a}{x}\)，
要使函數\(f(x)=x+alnx\)不是單調函數，
則需方程\(1+\cfrac{a}{x}=0\)在\(x>0\)上有解，
即方程\(a=-x\)在\(x>0\)上有解，
又函數\(g(x)=-x\)在\(x>0\)上的值域是\((-\infty，0)\)，故\(a\in(-\infty，0)\)。
\(\fbox{例3}\)(不是單調遞減)
已知函數\(f(x)=-\cfrac{1}{3}x^3+bx^2-(2b+3)x+2-b\)在R上不是單調遞減函數，則\(b\)的取值範圍是___________。
分析：若是R上的單調遞減函數，則\(f'(x)\leq 0\)恒成立，
現在不是R上的單調遞減函數，
故\(f'(x)=-x^2+2bx-2b-3=-(x-b)^2+b^2-2b-3>0\)在R上能成立，
故只需要\(f'(x)_{max}=b^2-2b-3>0\)即可，
解得\(b<-1\)或\(b>3\)。故\(b\in (-\infty，-1)\cup(3，+\infty)\)。
反思總結：不是單調遞減的情形可能包含有單調遞增函數或常函數或有增有減函數。
\(\fbox{例4}\)(函數不單調)
函數\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5\)在區間\([-1，2]\)上不單調，則實數\(a\)的取值範圍是_________。 \((-3，1)\)
法1：補集思想，\(f'(x)=x^2-2x+a\)，
若函數\(f(x)\)在\([-1，2]\)上單增，則\(f'(x)=x^2-2x+a\ge 0\)恒成立，分離參數得到\(a\ge -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函數\(f(x)_{max}=1\)，故\(a\ge 1\)；
若函數\(f(x)\)在\([-1，2]\)上單減，則\(f'(x)=x^2-2x+a\leq 0\)恒成立，分離參數得到\(a\leq -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函數\(f(x)_{min}=-3\)，故\(a\leq -3\)；
故取其補集，當\(-3<a<1\)時，函數\(f(x)\)在區間\([-1，2]\)上不單調。
法2：由題可知\(f(x)\)不單調，則導函數\(y=f'(x)\)在區間\([-1，2]\)上至少有一個變號零點，
當只有一個變號零點時，由\(f'(-1)\cdot f'(2)\leq 0\)可得，\(-3\leq a\leq 0\)；
當有兩個變號零點時，由\(\begin{cases}f'(-1)>0\\f'(2)>0\\\Delta >0\end{cases}\)，解得\(0<a<1\)；
綜上所述，實數\(a\)的取值範圍是\((-3，1)\)。
\(\fbox{例4}\)(正弦定理解三角形)
如果滿足\(\angle ABC=60^{\circ}\)，\(AC=12\)，\(BC=k\)的三角形\(\Delta ABC\)恰有一個，那麽\(k\)的範圍是多少？
法1：從數的角度入手，由正弦定理\(\cfrac{k}{sinA}=\cfrac{12}{sin60^{\circ}}\)，
得到方程\(k=8\sqrt{3}sinA，A\in(0，\cfrac{2\pi}{3})\)有一個解，或者兩個函數圖像有一個交點，數形結合求解即可。
\(0<k\leq 12\)或\(k=8\sqrt{3}\)，圖像待補充。
法2：待補充，從形的角度入手。
\(\fbox{例5}\)(方程有兩個根)
已知關於\(x\)的方程\(2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1-a=0\)在區間\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上存在兩個根，則實數\(a\)的取值範圍是________。
等價問法【已知函數\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1-a\)在區間\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上有兩個零點，則實數\(a\)的取值範圍是________。】
分析：題目先轉化為方程\(sin(x+\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{a-1}{2}\)在區間\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上存在兩個根，
再轉化為函數\(y=sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)和函數\(y=\cfrac{a-1}{2}\)有兩個不同的交點，
然後在同一個坐標系中做出這兩個函數的圖像，
由於\(x\in [0，\cfrac{2\pi}{3}]\)，故\(t=x+\cfrac{\pi}{6}\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6}]\)，
做出函數\(y=sint，t\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6}]\)的圖像和函數\(y=\cfrac{a-1}{2}\)的圖像，如圖一所示，
由圖像可以看出，\(\cfrac{1}{2}\leq \cfrac{a-1}{2}<1\)
解得\(2\leq a<3\)，故\(a\in [2，3)\)。
反思總結：
1、當橫軸是\(x\)軸(如圖二)和\(t=x+\cfrac{\pi}{6}\)(如圖一)時，都可以得到結論\(\cfrac{1}{2}\leq \cfrac{a-1}{2}<1\)，
但是利用圖一的做法，手工作圖非常快捷，由於用到了整體思想，我們就可以利用模板函數的現成圖像，
只需要在現成的圖像上面截取我們需要的那一部分就可以了。這種方法我們需要仔細體會，用心揣摩。示例
2、為什麽這兩種方法都可以？
是因為\(a=f(x)\)有解的題目，其實就是求函數\(f(x)\)的值域問題，而函數的值域的求法中，這兩種方法殊途同歸。
方程有解習題