CQ diff ID esc tput 進行 有效 using 密碼

BZOJ_5296_[Cqoi2018]破解D-H協議_BSGS

Description

Diffie-Hellman密鑰交換協議是一種簡單有效的密鑰交換方法。它可以讓通訊雙方在沒有事先約定密鑰（密碼）的情況下 通過不安全的信道（可能被竊聽）建立一個安全的密鑰K，用於加密之後的通訊內容。 假定通訊雙方名為Alice和Bob，協議的工作過程描述如下（其中mod表示取模運算）： 1．協議規定一個固定的質數P，以及模P的一個原根g。P和g的數值都是公開的，無需保密。 2．Alice生成一個隨機數a，並計算A=g^a mod P，將A通過不安全信道發送給Bob。 3．Bob生成一個隨機數b，並計算B=g^b mod P，將B通過不安全信道發送給Alice。 4．Bob根據收到的A計算出K=A^b mod P，而Alice根據收到的B計算出K=B^a mod P。 5．雙方得到了相同的K，即g^(a*b) mod P。K可以用於之後通訊的加密密鑰。 可見，這個過程中可能被竊聽的只有A、B，而a、b、K是保密的。並且根據A、B、P、g這4個數，不能輕易計算出 K，因此K可以作為一個安全的密鑰。 當然安全是相對的，該協議的安全性取決於數值的大小，通常a、b、P都選取數百位以上的大整數以避免被破解。然而如 果Alice和Bob編程時偷懶，為了避免實現大數運算，選擇的數值都小於2^31，那麽破解他們的密鑰就比較容易了。

Input

輸入文件第一行包含兩個空格分開的正整數g和P。 第二行為一個正整數n，表示Alice和Bob共進行了n次連接（即運行了n次協議）。 接下來n行，每行包含兩個空格分開的正整數A和B，表示某次連接中，被竊聽的A、B數值。 2≤A，B<P<231，2≤g<20， n<=20

Output

輸出包含n行，每行1個正整數K，為每次連接你破解得到的密鑰。

Sample Input

3 31
3
27 16
21 3
9 26

Sample Output

4
21
25

---

通過$A=g^a\;mod\;P$用$BSGS$求出$a$的值，然後求$K=B^a\;mod\;P$。 代碼：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
map<ll,int>mp;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &p) {
	if(!b) {x=1; y=0; p=a; return ;}
	exgcd(b,a%b,y,x,p);
	y-=a/b*x;
}
ll qp(ll x,ll y,ll p) {
	ll re=1;
	while(y) {
		if(y&1ll) re=re*x%p;
		x=x*x%p;
		y>>=1ll;
	}
	return re;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll n) {
	if(n==1) if(!b) return a!=1;else return -1;
	if(b==1) if(a) return 0;else return -1;
	if(a%n==0) if(!b) return 1;else return -1;
	ll m=ceil(sqrt(n)),d=1,base=1;
	mp.clear();
	int i;
	for(i=0;i<m;i++) {
		if(!mp.count(base)) mp[base]=i;
		base=base*a%n;
	}
	for(i=0;i<m;i++) {
		ll x,y,s;
		exgcd(d,n,x,y,s);
		x=(x*b%n+n)%n;
		if(mp.count(x)) return i*m+mp[x];
		d=d*base%n;
	}
	return -1;
}
int main() {
	ll g,p,n,A,B,a,b;
	scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);
	while(n--) {
		scanf("%lld%lld",&A,&B);
		a=BSGS(g,A,p);
		printf("%lld\n",qp(B,a,p));
	}
}

BZOJ_5296_[Cqoi2018]破解D-H協議_BSGS