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破解 D-H 協議

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裸的bsgs

 我們可以使用分塊來優化暴力列舉,對於Ax≡B(mod C),我們可以令m=⌈\sqrt{C}⌉,x=i∗m+j,那麼該式子就可以寫成A^{i*m}*A^{j}≡B(mod C),於是我們可以將A^{j}進行預處理,表示達到這個值的指數項為多少,存到一個雜湊表或者map裡,之後我們只要列舉A^{i*m}就行了,大致複雜度是O(\sqrt{n}logn)。(知道了這個,這題就做完了qwq)

不知為何令x=i*m-j就過不了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll g,p,n,A,B,m;
map<ll,ll>mp;
long long int qpow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
          ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void intt()
{
    ll x=1;
    mp[1]=0;
    for(ll j=1;j<=m;j++)
    {
        x=x*g%p;
        if(!mp[x])
          mp[x]=j;
    }
}
//巧妙地求逆元
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a,x=1,y=0;
    }
    else{
    ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=x*(a/b);
    }
}
ll inv(ll x)
{
    ll d,xx,y;
    ex_gcd(x,p,d,xx,y);
    return d==1?(xx+p)%p:-1;
}
ll solve(ll x)
{
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        ll v=x*inv(qpow(g,i*m))%p;
        if(mp.count(v))
        {
            return i*m+mp[v];
        }
    }
    return -1;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);
    m=ceil(sqrt(p));
    intt();
    while(n--)
    {
        scanf("%lld%lld",&A,&B);
        printf("%lld\n",qpow(B,solve(A)));
    }
    return 0;
}