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題目描述

Diffie-Hellman金鑰交換協議是一種簡單有效的金鑰交換方法。它可以讓通訊雙方在沒有事先約定金鑰（密碼）的情況下，通過不安全的通道（可能被竊聽）建立一個安全的金鑰K，用於加密之後的通訊內容。
假定通訊雙方名為Alice和Bob，協議的工作過程描述如下（其中mod表示取模運算）：
協議規定一個固定的質數P，以及模P的一個原根g。P和g的數值都是公開的，無需保密。
Alice生成一個隨機數a，並計算A=ga mod P，將A通過不安全通道傳送給Bob。
Bob生成一個隨機數b，並計算B=gb mod P，將B通過不安全通道傳送給Alice。
Bob根據收到的A計算出K=Ab mod P ，而Alice根據收到的B計算出K=Ba mod P。
雙方得到了相同的K，即gab mod P。K可以用於之後通訊的加密金鑰。
可見，這個過程中可能被竊聽的只有A,B，而a,b,K是保密的。並且根據A,B,P,g這4個數，不能輕易計算出K，因此K可以作為一個安全的金鑰。
當然安全是相對的，該協議的安全性取決於數值的大小，通常a,b,P都選取數百位以上的大整數以避免被破解。然而如果Alice和Bob程式設計時偷懶，為了避免實現大數運算，選擇的數值都小於231，那麼破解他們的金鑰就比較容易了。

輸入

第一行包含兩個空格分開的正整數g和P。
第二行為一個正整數n，表示Alice和Bob共進行了n次連線（即運行了n次協議）。
接下來n行，每行包含兩個空格分開的正整數A和B，表示某次連線中，被竊聽的A,B數值。

輸出

輸出包含n行，每行一個正整數K，為每次連線你破解得到的金鑰。

樣例輸入

3 31
3
27 16
21 3
9 26

樣例輸出

4
21
25

提示

對於30%的資料，2≤A,B,P≤1000。
對於100%的資料，2≤A,B<P<231,2≤g<20,1≤n≤20。

                                                                          [

題意 ：

給你A B g  p ，讓你去求K  k=A^b%p 或者k=B^a%p ,bsgs演算法解同餘方程 a^x % p = b % p

A=g^a%p  等價於  A%p=g^a%p  等價於A≡g^a(mod p) （事實)  就可以套用BSGS演算法了    

（恆成立 一般是表示含有未知量的）

因為(    aX=kb+c 等於 aX≡c(mod b)    )。

題解

【bsgs演算法】

對於同餘方程      a,b,p都一直，且p為素數，求解x

令 m = sqrt(p) + 1 （ 稍大於sqrt(p)的一個整數）

令 x = i*m - j ，ij均為整數，那麼i*m-j一定可以湊出任意一個整數x，並且i只需從1到m，如果有誤差，可以通過 j 來調整。

這樣一來，同餘方程變為

那麼恆等式右邊，可以列舉 j 預處理放到map裡，然後左邊列舉 i ，直到在map存在相等的右邊值，則結束

解得：x = i*m - j

時間複雜度，當p很大時（1e9），還是要考慮優化，一不小心就超時

所以本題目已知        利用bsgs求解b，所以答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;


ll qpow(ll n,ll m,ll p)
{

    n%=p;
    ll ans=1;
    for(;m;m>>=1)
    {

        if(m&1)ans=ans*n%p;
        n=n*n%p;
    }
    return ans;
}

int main()
{

    ll g,p,A,B,n;
    scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);
    ll m=sqrt(p)+1; //x=i*m-j,注意m必須大於sqrt(p)
    map<ll,ll>M; //預處理g^j
    ll res=1; //a^0
    for(int j=0;j<=m;j++)
    {
        M[res%p]=j;
        res=res*g%p;
    }
    ll dk=qpow(g,m,p);
    while(n--)
    {
        scanf("%lld%lld",&A,&B);
        int a,b;
        ll k=dk*qpow(B,p-2,p)%p;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {

            if(M.count(k))
            {
                b=i*m-M[k];
                break;
            }
            k=k*dk%p;
        }
        ll ans=qpow(A,b,p);
        printf("%lld\n",ans);

    }

}