首先得知道什麽是二叉搜索樹：二叉搜索樹又叫做有序二叉樹、排序二叉樹，是指一顆空樹或者具有下列性質的樹：

①若任意節點的左子樹不為空，則左子樹上所有結點的值均小於它根節點的值

②若任意節點的右子樹不為空，則右子樹上所有結點的值均大於它根節點的值

③任意結點的左、右子樹也是二叉搜索樹

④所有結點的值均不相同

假設n個結點上的值由1，2，...，n構成，則搜索二叉樹按照中序遍歷輸出的結果是就是1、2、...、n。

設num(a)表示有a個結點時搜索二叉樹有多少種可能，則

Ⅰ.當頭結點的值為1時，左子樹為空，右子樹上有a - 1個結點，右子樹的搜索二叉樹個數為num(a - 1)

Ⅱ.當頭結點的值為i(1 < i < n)時，左子樹由結點1—i-1構成，右子樹由結點i+1—n構成；左子樹的搜索二叉樹個數為num(i-1),右子樹的搜索二叉樹個數為num(n - i);此時搜索二叉樹總的個數為num(i - 1) * num(n - i)

Ⅲ.當頭結點的值為a時，右子樹為空，左子樹上有a - 1個結點，左子樹的搜索二叉樹個數為num(a - 1)

所以，a個結點時搜索二叉樹的個數上述三個步驟的和。

從步驟Ⅱ可以看出來，這種算式與斐波拉契數列非常相似，那就直接用動態規劃計算，時間復雜度為O(n^2)

Java實現

package Leetcode;
/*
 *@author: David
 *@Time: 2018年4月27日下午9:10:38
 *@Description:
 *Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?
*/
public class BST_num {
     //TIME : O(n^2)
     private static int Solution(int n) {
          if (n < 2) return 1;
          int[] num = new int[n+1];
          num[0] = 1;
          for(int i = 1;i < n + 1;i++){
              for(int j = 1;j < i+1 ;j++){
                   num[i] += num[j - 1] * num[i - j];
              }
          }
          return num[n];
     }
     
     public static void main(String[] args){
          int n = 3;
          System.out.println(Solution(n));
     }
}

ACM之不同的二叉搜索樹