HNOI2008 玩具裝箱

Description

　　P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓
縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號為1...N的N件玩具，第i件玩具經過
壓縮後變成一維長度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容
器中有多個玩具，那麽兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一
個容器中，那麽容器的長度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，
如果容器長度為x,其制作費用為(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以制作出任意長度的容
器，甚至超過L。但他希望費用最小.

Input

　　第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　輸出最小費用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

Solution

斜率優化dp。

我們可以輕易寫出 n^2 的方程，f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2,f[i]);但是顯然會T。

把平方拆開。
\[ f[j]+sum[i]^2+(sum[j]+l)^2-2 \cdot sum[i] \cdot (sum[j]+l) \]
把sum[j]+l視作y[j],f[j]+(sum[j]+l)^2視作x[j],那麽就可以維護凸殼。

如代碼

Code

//Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define LL long long
 

using namespace std;
int n,l,q[500005],hd,tl;
int c[500005],f[500005],sum[500005];
int sqr(int x) {
    return x*x;
}
int a(int x) {
    return sum[x]+x;
}
int b(int x) {
    return 1;
}
int x(int j) {
    return (sum[j]+l+j+1);
}
int y(int j) {
    return x(j)*x(j)+f[j];
}
double slope(int a,int b) {
    return ((double) y(b)-y(a))/((double)x(b)-x(a));
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&l);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&c[i]),sum[i]=sum[i-1]+c[i];
//  for(int i=1;i<=n;i++){(暴力)
//      for(int j=1;j<i;j++){
//          f[i]=min(f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]-l),f[i]);
//      }
//  }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        while(hd<tl&&slope(q[hd],q[hd+1])<2*a(i)) hd++;
        f[i]=y(q[hd])+a(i)*a(i)-2*x(q[hd])*a(i);
        while(hd<tl&&slope(q[tl-1],q[tl])>slope(q[tl-1],i)) tl--;
        q[++tl]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}

HNOI2008 玩具裝箱