[PKUSC2018]最大前綴和

題目大意：

有\(n(n\le20)\)個數\(A_i(|A_i|\le10^9)\)。求這\(n\)個數在隨機打亂後最大前綴和的期望值與\(n!\)的積在模\(998244353\)意義下的值。其中最大前綴和的定義為\(\forall i\in[1,n]\sum_{j=1}^iA_j\)的最大值。

思路：

考慮一個分界點\(p\)，使得\(\sum A_{1\sim p}\)為最大前綴和，那麽顯然\(p\)之後的所有前綴和均\(<0\)，否則就存在可以替換\(p\)的方案使得前綴和更大。

用\(sum[i]\)表示子集\(i\)的數值和，\(f[i]\)表示最大前綴和為\(sum[i]\)

源代碼：

#include<cstdio>
#include<cctype>
typedef long long int64;
inline int getint() {
    register char ch;
    register bool neg=false;
    while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-'
 
;
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return neg?-x:x;
}
const int N=20,mod=998244353;
int a[N],f[1<<N],g[1<<N];
int64 sum[1<<N];
int main() {
    const int n=getint(),u=(1<<n)-1;
    g[0]=1;
    for
 
(register int i=0;i<n;i++) {
        f[1<<i]=1;
        a[i]=getint();
        for(register int s=0;s<1<<n;s++) {
            if(s&(1<<i)) sum[s]+=a[i];
        }
    }
    for(register int s=1;s<1<<n;s++) {
        if(sum[s]>0) {
            for(register int i=0;i<n;i++) {
                if(!(s&(1<<i))) {
                    (f[s|(1<<i)]+=f[s])%=mod;
                }
            }
        } else {
            for(register int i=0;i<n;i++) {
                if(s&(1<<i)) {
                    (g[s]+=g[s^(1<<i)])%=mod;
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(register int i=1;i<1<<n;i++) {
        (ans+=(int64)sum[i]*f[i]%mod*g[u^i]%mod)%=mod;
    }
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}

[PKUSC2018]最大前綴和