註：此博客寫於 2017.8 ~ 2017.11

一個小清新OJ.

題意簡短，超贊！

題目新穎，超贊！

解法巧妙，超贊！

標程簡潔，超贊！

AtCoder Regular Contest 068

E - Snuke Line 給定\(n\)個區間\([l,r]\)和一個數\(m\)。對於\(d=1,2,3…,m\)，求\(kd(1 \leq kd \leq m,k\in Z)\)被多少個不同區間覆蓋（對於不同的\(k\)，只算一次）。\(1 \leq n,m \leq 3\times 10^5,1 \leq l \leq r \leq m\)

記區間的長度為\(len=r-l+1\)。想到可以\(O(mlogm)\)

考慮當\(d \leq len\)時，則一定存在\(k\)使得\(kd\)被這個區間覆蓋。於是我們記錄滿足\(d \leq len\)的區間個數即可。而對於\(d>len\)的情況，至多有一個\(kd\)被區間覆蓋，於是就可以用線段樹維護。即當\(d>len\)時加入這個區間，同時單點詢問\(kd\)被多少個區間覆蓋。復雜度\(O((mlogm+n)logm)\)。

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F - Solitaire 有一個雙端隊列，依次往首或尾插入數1到n。然後你可以從隊列的首或位取出一個數，順次相接組成一個序列。求有多少個序列的第\(K\)

位為\(1\)？\(1 \leq k \leq n \leq 2\times 10^3\)

顯然，當\(n\)個數全部插入後，隊列一定是遞減到1再遞增的。不難發現，得到的序列的前\(K\)位，一定是由兩個遞減序列交錯得到的，且第\(K\)位為1。

從\(n\)到\(1\)逐個考慮每一個數是否選擇，且屬於哪一個序列。定義\(f(i,j)\) 已經得到了序列的前\(i\)位，其中第\(i\)位為\(j\)的方案數。將\(j\)加入序列1，則\(f(i,j)\)可由\(f(i-1,k), k>j\)轉移過來。

如果將新的數加入序列2，該如何轉移？可以發現，這個數一定是沒選擇的數中最大的數（序列2也是遞減的）。

事實上，DP的過程還有一個非法的轉移。\(f(K-1,1)\)會轉移到\(f(K,1)\)，不是以1作為第\(K\)個數。

對於剩下的\(n-K\)個數，每次可以取頭或尾。於是答案\(ans=(f(K-1,1)-f(K-1,1))\times 2^{n-K-1}\)。 時間復雜度\(O(nK)\)。

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AtCoder Regular Contest 069

E - Frequency 有\(n\)堆石頭，第\(i\)堆有\(ai\)個石頭。每一次，你需要記錄下石頭最多的堆的序號（當石頭數相同時，取最左端的），然後你可以從某堆中拿走一塊石頭。直到石頭被全部拿走。需要使得序號組成的序列字典序最小，問1到n在序列中出現的次數。

可以發現，這個序列一定是非遞增的。假設現在最多的石頭堆為\(x\)，在1到x-1中石頭最多的堆為\(y\)。考慮貪心的過程，我們需要把x到n中，石頭數大於\(ay\)都取到\(ay\)，因為這樣能使得序號盡可能快地減小。離散化石頭數，再從小到大考慮，用樹狀數組維護小於某個值的石頭堆數量，以及石頭數總和即可。

事實上，存在排序後\(O(n)\)的做法。

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F - Flags 你在一條線上插\(n\)個\(flag\)，其中第\(i\)個\(flag\)可以插在\(xi\)或\(yi\)。記所有\(flag\)兩兩間的距離最小值為\(d\)，求\(d\)的最大值。

暫未編寫。 考慮二分答案\(d\)。於是是否放在\(xi,yi\)變成了\(2-SAT\)判定性問題，對於\(xi\)和\(yi\)恰好放一個，距離小於\(d\)的位置不能同時放，構成了一些約束條件。暴力枚舉所有點對，可以在\(O(n^2logMAX_{x})\)的時間內解決。

發現許多約束條件是無用的。考慮類似線段樹的分治結構來建圖，對於每個點，至多與\(O(logn)\)個區間相連；令一方面，線段樹中父子相連的邊也只有\(O(n)\)條。單次判定的復雜度可以做到\(O(nlogn)\)。總的時間復雜度\(O(nlognlogMAX_{x})\)，可以通過此題。

存在\(O(n(logn+logMAX_x))\)的算法，暫未理解。

AtCoder Regular Contest 070

D - Need 給定\(n\)個數\(ai\)。如果存在子集滿足其和大於等於\(K\)，則稱為是好的子集。如果一個數\(ai\)所在的所有好集中，去除\(ai\)後仍是好集，則\(ai\)是無用的。求無用的數的個數。

對於\(x<y\)，若\(y\)是無用的，則\(x\)一定無用的，所以答案滿足單調性。考慮判斷\(x\)是否是無用的，用\(bitset\)維護\(n-1\)個數相加能組成的集合（\(x\)除外，可以用類似\(DP\)的方式求出）。

顯然，如果其他的數能組成\(K-x\)到\(K-1\)中的任意一個數，則\(x\)是有用的。時間復雜度\(O(\frac {n^2logn} w)\) ，此處\(w\)一般為\(32\)或\(64\)。

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AtCoder Regular Contest 071

E - TrBBnsformBBtion 有字符串\(S,T\)，僅由\(A\)或\(B\)構成。有如下操作：①選擇一個字符:\(A\rightarrow BB\) 或 \(B\rightarrow AA\)。②刪除連續3個相同的字符:\(AAA\)或\(BBB\)。給定\(Q\)個詢問，對於每個詢問，回答\(S[a,b]\)能否變換為\(T[c,d]\)。\(|S|,|T|,Q \leq 10^5\)

想了幾分鐘就YY了一個結論：把A看作1，把B看作2，兩個串能變換當且僅當兩個區間和模3同余。然後就A掉了。首先，必要性顯然，因為對於區間和模3，不論如何操作都不會改變。

看了官方題解才知道如何證明充分性。首先主要到所有的操作都是可逆的：\(A\rightarrow BB\rightarrow AAAA\rightarrow A\)。且\(A,B\)可以任意地加3個或減3個。考慮將\(S\)和\(T\)中的\(B\)全變為\(A\)。如果\(S,T\)的\(A\)個個數關於3同余，則一定能變換。就證明了結論。

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F - Infinite Sequence 給定\(n\ (n \leq 10^6)\)，問存在多少個無窮序列滿足：1.每個數都在1到\(n\)之間。2.對於任意\(n \leq i,j\)，都有\(a_i=a_j\)。3.對於任意的\(i\)，若存在\(i+1 \leq j<k \leq i+a_i\)，都有\(a_j=a_k\)。

發現只有前\(n\)位是有用的，考慮到動態規劃更容易向前轉移，定義\(f(i)\)為子序列\([i,n]\)滿足條件的個數，於是我們考慮\(a_i\)的值即可轉移。

• 發現1是一個比較特殊的數，當\(a_i=1\)時，\(f(i)=f(i-1)\)。
• 當\(a[i]\not=1,a[i+1]\not=1\)時，序列為\(ABBBBBB…\)的形式，\(f(i)=(n-1)\times (n-1)\)。
• 當\(a[i]\not=1,a[i+1]=1\)時，序列為\(A,1,1,,..,1,B…\)的形式，\(f(i)=f(i-3)+f(i-4)+…+f(1)+n-i+2\)。

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AtCoder Regular Contest 072

D - Alice&Brown A和B在玩一個遊戲。一開始，有兩堆石子分別有\(X\)和\(Y\)個。你可以從一堆中取\(2i\)個，然後放\(i\)個到另一堆。無法操作的玩家輸。問先手是否存在必勝策略?\(0 \leq X,Y \leq 10^{18}\)。

通過打表發現，當\(|X-Y|>=2\)先手必勝，否則後手必勝。考慮如何證明。

• 對於\((X,Y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\)，滿足\(|X-Y|<=1\)，是必敗態。

• 對於必勝態，設\(|X-Y|=3k+r>=2\ (r=0,1,-1,\ k>=1)\) ，取\(i=k\)，即可轉移到必敗態。

• 對於必敗態，操作後\(X-Y\)至少改變3，一定會轉移到必勝態。

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E - Alice in linear land 給定長度為\(n\)的操作序列\(ai\)和距離\(di\)。對於每個\(ai\)，當\(|d-ai|<d\)時\(|d-ai|\)會成為新的\(d\)，若最終\(d=0\)，則稱是可達的。給定\(Q\)個詢問\(qi\)，問能否改變\(a[qi]\)，使得操作序列是不可達的？\(n,Q \leq 5\times 10^5\)

首先可以預處理前綴\(a[1,qi-1]\)操作後的\(d\)，記為\(pre[qi-1]\)。發現對於詢問\(qi\)，只需要知道後綴\(a[qi+1,n]\)使得序列不可達的最小的\(d=suf[qi+1]\)，只要\(pre[qi-1]>=suf[qi+1]\)就一定能做到。

於是問題轉化為如何就\(suf[i]\)。顯然，\(suf[n+1]=1\)，而且隨著\(i\)的減小，\(suf[i]\)一定是非遞減的。當\(ai>=2\times suf[i+1]\)，可以取到\(suf[i]=suf[i+1]\)（此時無法執行操作）；否則\(suf[i]=suf[i+1]+ai\)。

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F - Dam 有一個水壩容積為\(L\)，一開始沒有水。此後\(n\)天，在第\(i\)天早晨，會進來體積為\(Vi\)，溫度為\(Ti\)的水；為了下一天水不會溢出，第\(i\)天傍晚需要排出一些水。對於體積\(V1\)，溫度\(T1\)和體積\(V2\)，溫度\(T2\)的水混合，體積為\(V1+V2\)，水溫為\(\large \frac {T1\times V1+T2\times V2}{V1+V2}\)。回答\(n\)個詢問，對於第\(i\)個詢問，輸出在第\(i\)天能夠達到的最大水溫。\(n \leq 5\times 10^5\)

假設混合得到的水體積為\(V2\)，溫度為\(T3\)。由題目可知\(T1\times V1+T2\times V2 = T3\times V3\)。考慮將\((x,y)=(V,TV)\)抽象為一個向量，那麽，水的混合就變成了向量之和！

觀察這個向量，發現\(T\)對應的就是它的斜率！將水排出，相當於是原向量乘上<1的實數！將可能的狀態畫在坐標系上，可以發現這一定是一個上凸包。如圖（555...圖丟了，湊合腦補一下）

而新加入一個向量後，最右端的會被刪除。此時不一定還是凸包，在左端比較相鄰的斜率，合並即可。

整個過程用雙端隊列維護，復雜度\(O(n)\)。

AtCoder Regular Contest 073

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E - Ball Coloring 有\(n\)個包，每個包裏各有兩個球，權值為\(xi\)和\(yi\)。你需要將一個球塗為紅色，另一個球塗為藍色。令\(Rmin\)為紅球中的最小權值，\(Rmax,Bmin,Bmax\)同樣定義。求出\((Rmax-Rmin)\times (Bmax-Bmin)\)的最小值。\(n \leq 2\times 10^5\)

假設所有權值中的最大值為\(Max\)，最小值\(Min\)。不失一般性地，有兩種情況：

\(Rmax=Max,Bmin=Min\)，此時需要最大化\(Rmin\)，最小化\(Bmax\)，於是將兩個球中較大的塗為紅色，較小的塗為藍色。

\(Rmax=Max,Rmin=Min\)（Min和Max不在同一包裏），此時需要最小化\(Bmax\)，最大化\(Bmin\)，令\(xi \leq yi\)，之後按照\(x\)升序排序。我們說，最優方案一定是，排序後，前\(k\ (1 \leq k \leq n)\)個的\(xi\)塗為紅色，後\(n-k\)個塗為藍色。如何證明，考慮反證法。

假設第\(p(p>=k+2)\)塗為了紅色，那麽\(Bmin\)並不會增大，而\(Bmax\)並不會減小，所以一定不會是更優解。於是簡單證明了結論。

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F - Many Moves 在一根長度為\(n\)的數軸上，有兩個方塊，位置為\(A,B\)。並且在同一時刻，你能移動一塊方塊一個單位距離。你需要依次到達位置\(xi\)，求最少所需時間。\(n,Q \leq 2\times 10^5\)

以\(xi\)作為階段，註意到上次的一個方塊位置一定是在\(x[i-1]\)，於是不難想到\(O(n^2)\)的DP。\(f[i,j]\)表示到位置\(xi\)，另一個位置為\(j\)的最小時間。若原來位置為\(x[i-1]\)的到位置\(xi\)，即有\(f[i,j]=f[i-1,j]+|x[i]-x[i-1]|\)。否則即有\(f[i,x[i-1]]=f[i,j]+|j-x[i-1]|\)。

考慮如何從優化轉移的時間。對於前面的狀態轉移方程，事實上就是線段樹的區間加。對於後面的狀態轉移方程，考慮維護\(f[i,j]-j\)和\(f[i,j]+j\)的值，在\([1,x[i-1]]\)取\(f[i,j]-j\)的最值；在\([x[i-1],n]\)取\(f[i,j]+j\)的最值即可。階段間的轉移優化到了\(O(logn)\)。

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AtCoder Regular Contest 074

D - 3N Numbers 給定\(3n\)個數\(A\)，你需要刪除其中的\(n\)個數，使得剩下\(2n\)個數\(A‘\)中前\(n\)個數之和-後n個數之和之差最大。求最大值。\(n \leq 10^5\)

發現對於刪除後\(A‘\)的第\(n\)個數一定是在原來\(A\)的\([n,2n]\)，考慮暴力枚舉\(A‘[n]\)的取值，剩下的貪心地選取。整個過程用堆維護。

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E - RGB Sequence 您需要構造一個長度為\(n\)， 由R,G,B構成的序列，滿足以下\(m\)個限制。對於限制\(i\)，滿足\([li,ri]\)間不同的顏色種數恰好為\(xi\)。求滿足條件的序列數。\(n,m \leq 300\)

考慮到如果存在不滿足的情況，一定是DP過程中最後的R,G,B發生沖突。於是考慮狀態\(f[R][G][B]\)表示\(R,G,B\)最後的位置，發現當前位置\(p=max\{R,G,B\}\)。考慮暴力轉移，轉以後判斷是否沖突即可。

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AtCoder Regular Contest 075

D - Widespread 有\(n\)只怪獸，第\(i\)只怪獸初始血量\(hi\)。每次可以選定一只怪獸攻擊，造成\(A\)點血量的傷害。同時其他怪獸受到\(B\)點血量的傷害。求最少的攻擊次數。\(n \leq 100000\)

考慮二分答案次數\(T\)。當某只怪物的血量\(hi \leq BT\)時，不需要主動攻擊。否則需要\(\large \lceil \frac {hi-BT} {A-B}\rceil\)次主動攻擊，判斷主動攻擊次數之和是否不超過\(T\)次即可。

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F - Mirrored 對於一個正整數\(n\)，記\(rev(n)\)為\(n\)的倒置，例如\(rev(123)=321,rev(4000)=4\)。給定\(D\)，求存在多少\(n\)滿足\(rev(n)=n+D\)。\(D \leq 10^9\)

以5位數為例，\(\overline{edcba}-\overline{abcde}=9999(e-a)+990(d-b)\) 考慮到如果\(D\)不是9的倍數，一定無解，否則我們考慮現將\(D\)除以9。然後DFS，發現\((e-a)\ mod\ 10\)可以確定，同樣可以逐位確定剩余的位，最後乘法原理確定總方案數即可。註意奇偶分類。

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AtCoder Regular Contest 075

E - Connected? 給定\(R \times C\)棋盤上的\(n\)對點，要求這\(n\)對點彼此連線，保證這些線不相交。求是否存在方案滿足。

考慮到，如果不是兩個點都在邊界上，一定存在方案。所以我們只要考慮邊界點即可。考慮使用一個棧，順時針處理所有的點\(x\)，如果棧頂的點是\(x\)，則出棧，否則令\(x\)入棧。最後只要檢查棧是否為空即可。

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AtCoder Regular Contest 077

D - 11 給定\(n\)和長度為\(n+1\)的子序列，每個數都在\([1,n]\)，且恰有一個數出現兩次。對於\(k=1,2,...,n+1\)，求出長度為\(k\)的互異子序列個數。\(n \leq 10^5\)

首先找出相同的兩個數\(x\)的位置\(l,r\)，可以發現剩下的數都是等價的。對於每個\(k\)，分類討論計數。按照選取\(x\)個數，就是\(C_{n-1}^k+2C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k-2}\)。註意到，如果在\((l,r)\)內沒有選數，選擇\(l\)和選擇\(r\)會被當作同一情況，於是答案還要減去\(C_{u+v}^{k-1}\)。

E - guruguru 有一盞燈具有\(1,2,...,m\)種亮度。遙控板可以一次操作可以將亮度加一（為\(m\)時，變為\(1\)）或跳轉到固定的亮度\(x\)。一開始亮度為\(a_1\)，接下來\(n-1\)次，你需要將亮度從\(a_{i-1}\)調節到\(a_i\)。選取一個\(x\)，使得調節的總次數最小。\(n,m \leq 10^5\)

記\(f(x_0)\)為：當\(x=x_0\)時，需要調節的總次數。考慮亮度\(s\Rightarrow t\) 對\(f(x)\)的貢獻（假設\(s<t\)， 其他情況同樣處理）。

• 對於\(x \leq s\)，\(f(x)+=t-s\)
• 對於\(s<x \leq t\)， \(f(x)+=t-x+1\)
• 對於\(t<x\)，\(f(x)+=t-s\)

發現是區間操作，並且只有在最後查詢。於是考慮差分，特別的，需要分為常數部分和系數部分。

F - SS 定義“雙串”，由兩個相同的字符串拼接而成。定義\(f(S)\)，在雙串S後追加最少字符得到的雙串。給定\(S0S0\)和\(l,r\)。求\(f^{10^{100}}(S0S0)\)在\([l,r]\)內，26個字母分別出現的個數。\(|S|<=2*10^5,l,r \leq 10^{18}\)

有待更深入理解。用KMP預處理Next[]，可以的到S0的最短相同前後綴T，設\(f(S0S0)=STST\)。通過畫圖發現，若\(|T|\)是\(|S|\)的因數，那麽S就是由一些T拼成的，\(f(STST)=STTSTT\)。否則，\(f(STST)=STSTST\)。設\(g(S)g(S)=f(SS)\) ，能得到\(g^{i+2}(S)=g^{i+1}(S)+g^i(S)\)（顯然，對於\(i\)無限大時也滿足第一種情況）。考慮求出前綴的貢獻，按照類似fib數列的遞推方式計算即可。

「泛做題解」曾經的 AtCoder 題解匯總