描述

有N個相同的球，M個不同的盒子，每個盒子最多放K個球
請計算將這N個球全部放入盒子中的方案數模1000007後的結果

輸入

三個正整數，依次為N，M，K

輸出

輸出方案數模1000007後的結果

樣例輸入

4 2 3

樣例輸出

3

提示

總共有3種方案，依次為

{ 3 ， 1 }

{ 2 ， 2 }

{ 1 ， 3 }

對於100%的數據， N，M <= 5000

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相比之前的水題，這個題，對我來說就有點難了= =卡時間

我們可以設計狀態F[i][j]表示前i個盒子放j個求有多少種方法，那麽F[i][j]=西格瑪（F[i-1][j-l]），l的範圍是[0,k]，狀態量是N^2，轉移是O(K)，復雜度是O(N*M*K)，TLE，我們考慮優化轉移，我們發現其實l的範圍是固定的，類似於一個滑動窗口，那麽我們可以維護一個sum，sum=西格瑪（F[i-1][j-l]），在j增加後，我們令sum=sum-F[i-1][j-k]+F[i-1][j+1]，這樣就做到了O(1)轉移，時間復雜度O(N*M)^[1]

另外解釋一下為什麽sum的初始值是m。被註釋掉的循環從0到n開始，n的初始值是1，那麽和就是ways[m-1][0]+ways[m-1][1]。ways[m-1][0]=1，ways[m-1][1]=m-1

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#include<cstring>
#define DEBUG(x) cout << #x << " = " << x << endl
typedef 
 
long long ll;
using namespace std;
const int MAXN=5e3+10;
const int MOD=1000007;
int N,M,K;
ll ways[MAXN][MAXN];
///前m個盒子放入n個球的放法
int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d %d %d",&N,&M,&K);
    ways[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=M;i++){
        ways[i][0]=1;
        ways[0][i]=0;
    }
    
 
for(int m=1;m<=M;m++){
        int sum=m;
        for(int n=1;n<=N;n++){
//            int l=min(n,K);
//            int r=0;
//            for(int i=0;i<=l;i++){
//                r=(r+ways[m-1][n-i])%MOD;
//            }
            ways[m][n]=sum;
            sum=(sum+ways[m-1][n+1])%MOD;
            if(n-K>=0)sum=(sum-ways[m-1][n-K]+MOD)%MOD;
        }
    }
    printf("%lld\n",ways[M][N]);
    return 0;
}

參考文獻

[1]https://blog.csdn.net/TSOI_Vergil/article/details/53102437

盒子與小球之三