盒子與小球，NOI網站題庫的一系列題，可在NOI題庫中提交。

     盒子與小球二：N個有差別的盒子（1<=N<=20）。你有A個紅球和B個藍球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了顏色沒有任何區別。你可以將球放進盒子。一個盒子可以同時放進兩種球，也可以只放一種，也可以空著。球不必全部放入盒子中。程式設計計算有多少种放置球的方法。

     我們可以設計一個狀態，F[i][j][k]表示前i個盒子中放了A個紅球，B個藍球的方案數，那麼考慮轉移，對於當前這個盒子，我們可以放若干個紅球和若干個藍球，即F[i][j][k]=西格瑪（F[i-1][j-l][k-w]），其中l<=j，k<=w，這樣狀態量N^3，轉移N^2，總複雜度為N^5，可以過掉，不過我還看到有更好的方法，在提問裡。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long f[22][16][16],ans;
int n,A,B;

int main()
{
	f[0][0][0]=1;
	scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
	for (int i=1;i<=n;i++) 
		for (int j=0;j<=A;j++) 
			for (int k=0;k<=B;k++) 
			{
				for (int l=0;l<=j;l++) 
					for (int w=0;w<=k;w++) 
						f[i][j][k]+=f[i-1][j-l][k-w];
			//	printf("%d %d %d %d\n",i,j,k,f[i][j][k]);
			}
	for (int j=0;j<=A;j++) 
		for (int k=0;k<=B;k++) ans+=f[n][j][k];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;	
}
 

    盒子與小球三：有N個相同的球，M個不同的盒子，每個盒子最多放K個球 ，請計算將這N個球全部放入盒子中的方案數模1000007後的結果 ，N<=5000，M<=5000。

    我們可以設計狀態F[i][j]表示前i個盒子放j個求有多少種方法，那麼F[i][j]=西格瑪（F[i-1][j-l]），l的範圍是[0,k]，狀態量是N^2，轉移是O(K)，複雜度是O(N*M*K)，TLE，我們考慮優化轉移，我們發現其實l的範圍是固定的，類似於一個滑動視窗，那麼我們可以維護一個sum，sum=西格瑪（F[i-1][j-l]），在j增加後，我們令sum=sum-F[i-1][j-k]+F[i-1][j+1]，這樣就做到了O(1)轉移，時間複雜度O(N*M)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 5005
#define mod 1000007
int f[maxn][maxn];
int n,m,k,sum;

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=0;i<=m;i++) f[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=m;i++) 
	{
		sum=i;
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
		/*	for (int l=0;l<=k;l++) 
			{
				if (j<l) break;
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-l])%mod;
			}*/
			f[i][j]=sum;
			sum=(sum+f[i-1][j+1])%mod;
			if (j-k>=0) sum=(sum-f[i-1][j-k]+mod)%mod; 
		//	printf("%d %d %d\n",i,j,f[i][j]);
		}
	}
	printf("%d\n",f[m][n]);
	return 0;	
}

   這道題的小球也不相同了，那麼我們考慮用隔板法，我們可以先預設小球是一樣的，爆搜出所有隔板的組合，當我們知道了每個盒子裝幾個小球后，我們有一個公式：有n1個a1,n2個a2....ni個ai，不同的排列數為（n1+n2+..+ni）!/(n1!+n2!+....+ni!)，這樣只要我們爆搜出所有的隔板組合，我們就能O(1)的知道這種組合的方案數，對於K=0的特殊情況，我們沒有了任何限制，那麼每個球都有M種選擇，那麼答案就是M^N。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,r,k;
long long c[20],jj[20],ans;

void dfs(int last,int cnt)
{
	if (cnt==r) 
	{
		long long temp=1,res=n;
		for (int i=1;i<cnt;i++) 
		{
			temp=temp*jj[c[i]];
			res-=c[i];
		}
		temp*=jj[res];
		if (res<k) return;
		ans+=(jj[n]/temp);
		return;
	}
	for (int i=last;i<n;i++) 
	{
		c[cnt]=i-last+1;
		if (c[cnt]<k) continue;
		dfs(i+1,cnt+1);	
	}
}

int main()
{
	jj[0]=1;
	for (int i=1;i<=15;i++) jj[i]=jj[i-1]*i;
	while (1) 
	{
		ans=0;
		scanf("%d%d%d",&n,&r,&k);
		if (n==0&&r==0&&k==0) break;
		if (k==0) 
		{
			ans=1;
			for (int i=1;i<=n;i++) ans=ans*r;
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		dfs(1,1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;	
}