• 題意 :

求 \([L, R]\) 之間的素數之和 . \(L≤10^{10},2×10^{10} \le R \le 10^{11}\)

• 題解 :

一個有點裸的 min_25篩 ? 現在我只會篩素數的前綴和 , 合數的過幾天再學吧 .

首先推薦一波 yyb大佬博客 這個人很強 , 別那麽fake就好啦

令 \(F(x) = x\) 顯然此處 \(F(x)\) 是完全積性函數 .

我們需要求的就是 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [i \in Prime] F(i)\] .

這個就是 min_25篩的預處理部分 啦.

由 yyb博客 可得 .

對於下面這個表達式 ,

\[\displaystyle g(n,j)=\sum_{i=1}^ni[i\in P\ or \ min(p)>P_j,p|i,p\in P\ ]\]

有如下一個遞推式 :
\[g(n,j)=\begin{cases} g(n,j-1)&P_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-P_{j}[g(\frac{n}{P_j},j-1)-g(P_j-1,j-1)]&P_j^2\le n\end{cases}\]

這個直接實現是 \(\displaystyle O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})\) 的復雜度 qwq

然後考慮代碼實現 . 我不太會非遞歸的 , 只會遞歸 ....

首先預處理前 \(\sqrt n\) 的素數 , (假設處理到了 \(lim\) )

以及 \(i=1 \sim lim\) 的 \(F(x)\) 前綴和 . (此處可適當處理多一點 , 時間效率會提高)

然後假設我們當前考慮的是 \(g(n, m)\) .

直觀上共有三步 .

1. \(P_{m+1}^2 > n\) 且 \(n \le lim\) , 那麽此時可以直接用之前預處理的答案 , 因為此時存在有貢獻的數只可能為素數 .
2. 將 \(m\) 一直縮小到 \(n < P_m^2\) . 這個利用了遞推式 \(P_j^2 > n\) 時 \(g(n,j) = g(n, j - 1)\)
   的那個定理 .
3. 然後不斷將 \(m\) 下降, 直至下降到 \(0\) , 此間需要要遞歸計算 \(P_{j}[g(\frac{n}{P_j},j-1)+g(P_j-1,j-1)]\) 的值 , 其中後者 \(g(P_j-1,j-1)\) 可以用前面預處理 , 遞歸下去也只會有一層 . 而前者會不斷遞歸計算 . 其中 \(m\) 到 \(0\) 的時候 , 就是邊界情況 : \(\displaystyle g(n, 0)=\sum_{i=2}^{n} i\) . 這個是很顯然的 , 因為此時所有數都計入了貢獻 , 但 \(1\) 是無法給予這個貢獻的 . (一開始此處調試許久... )

然後實現就特別容易啦 . 非遞歸常數似乎要小一點 , 到時候再學 ...

• 代碼 :

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ‘:‘ << x << endl
using namespace std;

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("6202.in", "r", stdin);
    freopen ("6202.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e7 + 1e3, Lim = 1e7;

typedef __int128 ll;

inline ll read() {
    ll x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == ‘-‘) fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

inline void Out(ll x, bool fir = true) { 
    if (!x) { if (fir) puts("0"); return ; }Out(x / 10, false); putchar (x % 10 + 48); if (fir) putchar (‘\n‘); 
}

int prime[N], cnt = 0; bitset<N> is_prime;

ll sump[N];

void Init(int maxn) {
    is_prime.set(); is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    For (i, 2, maxn) {
        sump[i] = sump[i - 1];
        if (is_prime[i])
            prime[++ cnt] = i, sump[i] += i;
        For (j, 1, cnt) {
            register int res = i * prime[j];
            if (res > maxn) break;
            is_prime[res] = false;
            if (!(i % prime[j])) break;
        }
    }
}

inline ll Sum(ll x) { return x * (x + 1) / 2 - 1; }

int tot = 0;
ll Sump(ll n, int m) {
    if (n <= Lim && n < (ll)prime[m + 1] * prime[m + 1]) return sump[n];

    for (; n < (ll)prime[m] * prime[m]; -- m);

    ll res = Sum(n);
    for (; m; -- m)
        res -= (Sump(n / prime[m], m - 1) - /*Sump(prime[m] - 1, m - 1)*/ sump[prime[m] - 1]) * prime[m];

    return res;
}

inline ll Calc(ll x) { return Sump(x, cnt - 1); }

int main () {
    File();

    Init(Lim);

    ll l = read(), r = read(); Out(Calc(r) - Calc(l - 1));
    return 0;
}

LOJ #6202. 葉氏篩法(min_25 篩)