BZOJ3197:[SDOI2013]刺客信條——題解
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3197
故事發生在1486 年的意大利,Ezio 原本只是一個文藝復興時期的貴族,後來因為家族成員受到聖殿騎士的殺害,決心成為一名刺客。最終,憑借著他的努力和出眾的天賦,成為了傑出的刺客大師,他不僅是個身手敏捷的武林高手,飛檐走壁擅長各種暗殺術。刺客組織在他的帶領下,為被剝削的平民聲張正義,趕跑了原本統治意大利的聖殿騎士首領-教皇亞歷山大六世。在他的一生中,經歷了無數次驚心動魄、扣人心弦的探險和刺殺。
曾經有一次,為了尋找Altair 留下的線索和裝備,Ezio 在佛羅倫薩中的刺客墓穴進行探索。這個刺客墓穴中有許多密室,且任何兩個密室之間只存在一條唯一的路徑。這些密室裏都有一個刺客標記,他可以啟動或者關閉該刺客標記。為了打開儲存著線索和裝備的儲藏室,Ezio 必須操作刺客標記來揭開古老的封印。要想解開這個封印,他需要通過改變某些刺客標記的啟動情況,使得所有刺客標記與封印密碼“看起來一樣”。
在這裏,“看起來一樣”的定義是:存在一種“標記”密室與“密碼”密室之間一一對應的關系,使得密室間的連接情況和啟動情況相同(提示中有更詳細解釋)。幸運的是,在Ezio 來到刺客墓穴之前,在Da Vinci 的幫助下,Ezio 已經得知了打開儲藏室所需要的密碼。
而你的任務則是幫助Ezio 找出達成目標所需要最少的改動標記次數。
參考:https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p3296
多半是樹哈希判同構了。
設$f[u][v]$表示$u$子樹和$v$子樹同構且同層的情況下$u$子樹原標記變動成$v$子樹的新標記需要的最少次數。
那麽實際上就是枚舉$u$和$v$的兒子子樹互相匹配,用他們的$f$轉移到$f[u][v]$上,很明顯這是一個帶權二分圖匹配的過程,KM是一個很好的選擇。
如果要是枚舉根來做的話,復雜度就是$O(1331n^2)$過不了,當然如果你使用動態換根的話,雖然我沒有想過,但是到目前位置,代碼已經快200行了,如果再動態換根的話就要累死了(當然debug就更累了)。
我們有個很妙的性質:取這棵樹的重心(如果有兩個重心,則將兩個重心之間的邊上建這個點,取這個點)作為根。
因為我們有一個美妙的結論:兩棵樹同構,當且僅當以兩棵樹重心為根的樹同構。
(其實我也不知道為什麽233可能是此時同構的對是最多的吧……)
#include<map> #include<cmath> #include<stack> #include<queue> #include<cstdio> #include<cctype> #include<vector> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ll; const int M=12; const int N=705; const int B=6662333; const int INF=1e9; inline int read(){ int X=0,w=0;char ch=0; while(!isdigit(ch)){w|=ch==‘-‘;ch=getchar();} while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return w?-X:X; } int dis[M][M],wx[M],wy[M],match[M],sla[M]; bool vx[M],vy[M]; bool dfs2(int u,int n){ vx[u]=1; for(int v=1;v<=n;v++){ if(!vy[v]){ int w=wx[u]+wy[v]-dis[u][v]; if(!w){ vy[v]=1; if(!match[v]||dfs2(match[v],n)){ match[v]=u;return 1; } }else sla[v]=min(sla[v],w); } } return 0; } int KM(int n){ memset(wx,-127,sizeof(wx)); memset(wy,-127,sizeof(wy)); memset(match,0,sizeof(match)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) wx[i]=max(wx[i],dis[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++){ memset(sla,127,sizeof(sla)); while(1){ memset(vx,0,sizeof(vx)); memset(vy,0,sizeof(vy)); if(dfs2(i,n))break; int minn=INF; for(int j=1;j<=n;j++) if(!vy[j])minn=min(minn,sla[j]); for(int j=1;j<=n;j++){ if(vx[j])wx[j]-=minn; if(vy[j])wy[j]+=minn; else sla[j]-=minn; } } } int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++)if(dis[match[i]][i]!=-INF)ans-=dis[match[i]][i]; return ans; } struct node{ int to,nxt; }e[N*2]; int n,cnt,head[N],fa[N],a[N],b[N],q[N],size[N],son[N],dep[N]; ll h[N]; inline void add(int u,int v){ e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt; } int calcg(int st){ int r=0,g1,g2=0,maxn=n; q[++r]=st;fa[st]=0; for(int l=1;l<=r;l++){ int u=q[l];size[u]=1;son[u]=0; for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){ int v=e[i].to; if(v==fa[u])continue; fa[v]=u;q[++r]=v; } } for(int l=r;l>=1;l--){ int u=q[l],v=fa[u]; if(r-size[u]>son[u])son[u]=r-size[u]; if(son[u]<maxn)g1=u,maxn=son[u],g2=0; else if(son[u]==maxn)g2=u; if(!v)break; size[v]+=size[u]; if(size[u]>son[v])son[v]=size[u]; } if(!g2)return g1; for(int i=head[g1];i!=-1;i=e[i].nxt){ int v=e[i].to; if(v==g2){ e[i].to=++n;e[i^1].to=n; add(n,g1);add(n,g2); return n; } } } ll dfs1(int u){ ll num[N];int r=0; size[u]=1;h[u]=B; for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){ int v=e[i].to; if(v==fa[u])continue; fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;num[++r]=dfs1(v);size[u]+=size[v]; } sort(num+1,num+r+1); for(int i=1;i<=r;i++)h[u]=h[u]*B+num[i]; return h[u]*=size[u]; } int f[N][N],to1[N],to2[N]; int find(int u1,int u2){ int idx1=0,idx2=0; memset(to1,0,sizeof(to1)); memset(to2,0,sizeof(to2)); for(int i=head[u1];i!=-1;i=e[i].nxt){ int v1=e[i].to;if(v1==fa[u1])continue; if(!to1[v1])to1[v1]=++idx1; for(int j=head[u2];j!=-1;j=e[j].nxt){ int v2=e[j].to;if(v2==fa[u2])continue; if(!to2[v2])to2[v2]=++idx2; //printf("1 %d %d %d\n",v1,v2,f[v1][v2]); dis[to1[v1]][to2[v2]]=-f[v1][v2]; } } return KM(idx1)+(a[u1]!=b[u2]); } int bfs(int s){ int r=0; q[++r]=s; for(int l=0;l<=r;l++){ int u=q[l]; for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){ int v=e[i].to; if(v==fa[u])continue; q[++r]=v; } } for(int i=r;i>=0;i--){ if(dep[q[i]]!=dep[q[r]]){ i++; for(int j=r;j>=i;j--) for(int k=r;k>=i;k--) if(h[q[j]]==h[q[k]]){ f[q[j]][q[k]]=find(q[j],q[k]); //printf("%d %d %d\n",q[j],q[k],f[q[j]][q[k]]); } r=i-1; } } return find(s,s); } int main(){ cnt=-1,memset(head,-1,sizeof(head)); n=read(); for(int i=1;i<n;i++){ int u=read(),v=read(); add(u,v);add(v,u); } for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=read(); int rt=calcg(1);fa[rt]=0; dfs1(rt); for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=INF; printf("%d\n",bfs(rt)); return 0; }
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