$n \leq 20,m \leq 100000$的01矩陣，可整行整列01翻轉，問最少剩幾個1.

一個暴力的做法是枚舉$2^n$種行翻轉然後$m$列掃一遍。但其實在行翻轉情況確定的情況下我們只關心兩個東西：某一列在行翻轉後剩幾個1，以及有幾個這樣的列。$f(i,j)$--在行翻轉$j$的情況下，有$i$個1的有多少列。其實就是與$j$有$i$個位不同的有多少列。可以枚舉每一個位置$p$，那麽這一位上與$j$不同的狀態$f(i-1,j \ \ xor \ \ 2^p)$可以加過來，但要挑去其中$p$已經算過一次的情況，有$f(i-2,j)$這麽多種，又要從$f(i-2,j)$中挑去那些$p$這一位算過一次的情況，$f(i-3,j \ \ xor \ \ 2^p)$，如此循環。但這樣枚舉完每個位置之後，每種好的情況其實算了$i$次，所以$i \times f(i,j)=\sum_{p=0}^{n-1} \sum_{t=1}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j \ \ xor \ \ (2^p \times (t \mod 2)))$。

這樣是$2^nn^3$的，但可以發現$\sum_{p=0}^{n-1}\sum_{t=3}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j \ \ xor \ \ (2^p \times (t \mod 2)))=(i-2) \times f(i-2,j)$，所以整理一下，$i \times f(i,j)=\sum_{p=0}^{n-1}f(i-1,j \ \ xor \ \ 2^p)+(i-2-n)f(i-2,j)$。少一個$n$。

要再少一個得用FWT。不會。

 1 //#include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4
 
 //#include<math.h>
 5 //#include<set>
 6 //#include<queue>
 7 //#include<bitset>
 8 //#include<vector>
 9 #include<algorithm>
10 #include<stdlib.h>
11 using namespace std;
12 
13 #define LL long long
14 int qread()
15 {
16     char c; int s=0,f=1; while ((c=getchar())<‘
 
0‘ || c>‘9‘) (c==‘-‘) && (f=-1);
17     do s=s*10+c-‘0‘; while ((c=getchar())>=‘0‘ && c<=‘9‘); return s*f;
18 }
19 
20 //Pay attention to ‘-‘ , LL and double of qread!!!!
21 
22 int K,n;
23 #define maxn 1100011
24 int b[maxn],f[22][maxn];
25 
26 int main()
27 {
28     K=qread(); n=qread();
29     {
30         char c;
31         for (int i=0;i<K;i++)
32             for (int j=1;j<=n;j++)
33             {
34                 while ((c=getchar())!=‘0‘ && c!=‘1‘);
35                 b[j]|=(c-‘0‘)<<i;
36             }
37         for (int i=1;i<=n;i++) f[0][b[i]]++;
38     }
39     int T=1<<K,ans=0x3f3f3f3f;
40     for (int i=1;i<=K;i++)
41     {
42         for (int j=0;j<T;j++)
43         {
44             if (i>1) f[i][j]=(i-2-K)*f[i-2][j];
45             for (int k=0;k<K;k++) f[i][j]+=f[i-1][j^(1<<k)];
46             f[i][j]/=i;
47         }
48     }
49     for (int i=0;i<T;i++)
50     {
51         int tmp=0;
52         for (int j=0;j<=K;j++) tmp+=min(j,K-j)*f[j][i];
53         ans=min(ans,tmp);
54     }
55     printf("%d\n",ans);
56     return 0;
57 }

Codeforces663E. Binary Table