CF662C Binary Table
阿新 • • 發佈:2018-12-06
一道簡單的\(FWT\)題.
題目連結
題目概述
有一個\(n\)行\(m\)列的表格,每格中都有\(0\)或\(1\).
每次操作可以將某行或某列取反.
操作次數無限,求最後表格中最少有多少個\(1\).
\(n\leq 20,m\leq 100000\)
解析
我們先想一個簡單的暴力.
考慮暴力列舉每行是否取反.假設狀態是\(S\).
相當於每列的數都異或上\(S\).然後預處理\(popcount\)計算,取異或結果中\(0/1\)數量的較小值即可(因為可以通過取反一列來改變).
時間複雜度\(O(2^n*m)\),無法通過本題.
考慮如何優化.
首先先把每一列表示的二進位制數記錄下來.
令\(a_i\)
再令\(b_i\)表示\(min(popcount(i),n-popcount(i))\)
那麼假設列舉的狀態是\(S\),那麼此時對應的答案\(ans_S=\sum_{i=0}^{2^n}a_i*b_{i\oplus S}\)
換一種表現形式就是\(ans_S=\sum_{i\oplus j=S}a_ib_j\)
那麼就直接\(FWT\)即可.
時間複雜度\(O(2^n*n)\)
程式碼如下
真的超級短呢
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> #define N (1<<21) #define M (100010) #define inf (0x7f7f7f7f) #define rg register int #define Label puts("NAIVE") #define spa print(' ') #define ent print('\n') #define rand() (((rand())<<(15))^(rand())) typedef long double ld; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; using namespace std; inline char read(){ static const int IN_LEN=1000000; static char buf[IN_LEN],*s,*t; return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++); } template<class T> inline void read(T &x){ static bool iosig; static char c; for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){ if(c=='-')iosig=true; if(c==-1)return; } for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0'); if(iosig)x=-x; } inline char readchar(){ static char c; for(c=read();!isalpha(c)&&!isdigit(c);c=read()) if(c==-1)return 0; return c; } const int OUT_LEN = 10000000; char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf; inline void print(char c) { if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf; *ooh++=c; } template<class T> inline void print(T x){ static int buf[30],cnt; if(x==0)print('0'); else{ if(x<0)print('-'),x=-x; for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48; while(cnt)print((char)buf[cnt--]); } } inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);} int n,m,num[M],Lim,pc[N]; LL a[N],b[N],ans=1e18; void FWT(LL *a,int tp){ for(int i=1;i<Lim;i<<=1) for(int R=i<<1,j=0;j<Lim;j+=R) for(int k=j;k<j+i;k++){ LL x=a[k],y=a[k+i]; a[k]=x+y,a[k+i]=x-y; if(tp==-1)a[k]/=2,a[k+i]/=2; } } int main(){ read(n),read(m),Lim=(1<<n); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) (num[j]=(num[j]<<1)+readchar()-'0'); for(int i=1;i<=m;i++) a[num[i]]++; for(int i=1;i<Lim;i++) pc[i]=pc[i>>1]+(i&1),b[i]=min(pc[i],n-pc[i]); FWT(a,1),FWT(b,1); for(int i=0;i<Lim;i++)a[i]=(a[i]*b[i]); FWT(a,-1); for(int i=0;i<Lim;i++)ans=min(ans,a[i]); printf("%lld\n",ans); }