額，前兩天剛講了數據結構，今天我來講講組合數學中的一種奇妙優化——Lucas

先看這樣一個東西

沒學過lucas的肯定會說：還不簡單？處理逆元，邊乘邊膜唄

是，可以，但註意一下數據範圍

你算這一次，你需要跑25000下

那麽你如果求C199999 1~C199999 52222 呢？

你會發現你的復雜度上天了

所以我們會用到一個神奇的定理：Lucas定理

定理內容如下：
　　Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

不好玩，是嗎？

那麽我來證明一下

由二項式定理可得，cmn等於（x+1）^m中n次項的系數

那麽我們按Lucas展開

原式=(x+1)^(p^k*ak)*(x+1)^(p^(k-1)*a(k-1))*……*(x+1)^(p*a1)+(x+1)^(1*a0)

=[(x+1)^(p^k)]^ak……

由費馬小定理可知，其%p後可轉化為 (x+1)^ak*(x+1)^a(k-1)*……*(x+1)^a1*(x+1)^a0

原題轉化為求上式的n次項的系數

同理，由於每一項已經消去了p^k次方 故即求每一項中的bk次項系數 即為Lucas

有什麽用呢？

以前的組合數，我們一位一位地算（累死了）

現在的組合數，我們只用算%p出來的（這不就是log p m次嗎？）

O(n)到O（logn）

大有長進啊

大家應該都會

下面看幾道好題

combination【bzoj2928】

裸的板子，不說什麽

《瞿葩的數字遊戲》T3-三角聖地

帶了預處理階乘的Lucas

[SHOI2015]超能粒子炮·改

lucas合並

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Lucas定理及應用