同餘定理：兩個整數同時除以一個整數得到的餘數相同，則二整數同餘。記作a ≡ b(mod m)。

1. 同餘定理的加法乘法應用

• (a + b) % m = (a % m + b % m) % m

設 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
則 (a + b) % m = ((k1 * m + r1) + (k2 * m + r2)) % m
               = ((k1 + k2) * m + (r1 + r2)) % m
               = (r1 + r2) % m
               = (a % m + b % m) % m
所以 (a + b) % m = (a % m + b % m) % m
 

• (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

設 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
則 (a * b) % m = ((k1 * m + r1) * (k2 * m + r2)) % m
               = (k1 * k2 * m^2 + (k1 * r2 + k2 * r1) * m + r1 * r2) % m
               = (r1 * r2) % m
               = ((a % m) * (b % m)) % m
所以 (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m
 

2. 高精度取模

• 高精度對單精度取模

    一個高精度數對一個數取餘，可以把高精度數看成各位數的權值與個位數乘積的和。

    比如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，對這個數進行取餘運算就是上面基本加和乘的應用。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int main(){
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    int len = a.length();
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++){
        ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
 

• 快速冪取模

    將冪拆解為多個底數的平方次的積，如果指數為偶數，把指數除以2，並讓底數的平方次取餘，如果指數為奇數，就把多出來的底數記錄下來，再執行偶數次的操作。

#include<iostream>
using namespace std;

int PowerMod(int a, int b, int c){
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b > 0){
        if(b&1){
            ans *= (a % c);
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % c;
    }
    ans %= c;
    return ans;
}

int main(){
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
    return 0;
}