深度搜索入門
深度優先搜索是搜索的手段之一。它從某個狀態開始，不斷地轉移狀態，直到無法轉移，然後回退到前一步的狀態，繼續轉移到其他狀態，如此重復，直到找到最終的解。
做這類題目，抓住兩樣東西：1.總體上遞歸幾次（幾層）？每一次遞歸確定一層上的數。 2.每次遞歸，有幾種選擇的情況。所以dfs()函數，只有兩部分（if、else結構）：1.（if部分）若每一層都選擇了，判斷是否符合條件，做出題目要求的操作。2.（else部分）若還有層沒有選擇，就做出選擇，所有選擇的情況列出。
下面是幾個考察dfs的題目：
1.部分和問題(入門題)——南陽1282（dfs）
問題描述：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=1282 題目要求：在n個數中，選出某些，使得它們之和等於k，可以做到，輸出YES,不可以做到，輸出NO。 分析：有n個數，大體遞歸n（或n+1）次，分別確定n（或n+1）層的數；每次遞歸，有兩種選擇：加這個數、不加這個數。 其狀態轉移過程如下：
1 //每個數分取和不取兩種情況 2 #include<stdio.h> 3 int n,k,arr[21];//設成全局變量，是的dfs函數的參數減少，函數變簡潔
//dfs函數，用來確定第i層上的數 4 bool dfs(int i,int sum) 5 { 6 if(i==n)return sum==k; 7 //兩種選擇 8 if(dfs(i+1,sum)) return true;//不取這個數，sum+arr[i]表示到第i+1層數的和 9 if(dfs(i+1,sum+arr[i])) return true;//取這個數10 return false; 11 }
//主函數 12 int main() 13 { 14 int i; 15 while(~scanf("%d %d",&n,&k)) 16 { 17 for(i=0; i<n; i++) 18 { 19 scanf("%d",&arr[i]); 20 } 21 22 if(dfs(0,0))//第一層，是0,不是第一個數，所以要n+1層 23 printf("YES\n"); 24 else25 printf("NO\n"); 26 } 27 return 0; 28 }
2.部分和問題——南陽1058（dfs+1組記錄）
題目描述：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=1058
題目要求：在題目1的基礎上，輸出由那些數組成。
分析：同題目1，但是不僅要判斷是否可以找出某些數之和正好是k，還要輸出這些數，我們在遞歸的過程中，如果滿足條件，就把數存入數組。本題的dfs函數，只比上一題多一行代碼：result[j++]=arr[i]，存數的過程。
註意：若給出的數，有多組都符合條件，此代碼只輸出一組。並且，選擇的次序不同，會導致結果不同。如：
輸入：4 12
4 8 1 7
“先加這個數”：輸出：YES
4 1 7
“後加這個數”：輸出：YES
4 8
但是，兩種寫法，雖然結果不同，都AC了。
代碼<c語言>：
1 #include<stdio.h> 2 int n,k,j=0,arr[21],result[21];//arr[]存儲題目給出的數，result[]存儲符合條件的數的下標
//dfs函數 3 bool dfs(int i,int sum){ 4 if(i==n)return sum==k; 5 if(sum>k)return false; 6 //下面自然是i<n的情況，有兩種情況 7 /*if(dfs(i+1,sum+arr[i])) {//位置不同(先加這個數），結果不同，但是都AC了 8 result[j++]=arr[i];//記錄取出的數據 9 return true; 10 }*/ 11 if(dfs(i+1,sum)) 12 return true; 13 if(dfs(i+1,sum+arr[i])) {//位置不同（後加這個數） 14 result[j++]=arr[i];//記錄取出的數據，arr[]下標大的放在前面，輸出的時候註意從後往前輸出 15 return true; 16 } 17 return false; 18 }
//主函數 19 int main(){ 20 int i; 21 while(~scanf("%d %d",&n,&k)){ 22 j=0;//初始化 23 for(i=0;i<n;i++){ 24 scanf("%d",&arr[i]); 25 } 26 27 if(dfs(0,0)){ 28 printf("YES\n"); 29 j=j-1; 30 while(j>=0){//輸出 31 printf("%d ",result[j--]); 32 } 33 printf("\n"); 34 } 35 else 36 printf("NO\n"); 37 } 38 return 0; 39 }
**拓展：那怎樣寫，才能將所有的結果都輸出呢？大部分題目還是要求這樣的。（dfs+多組記錄+還原）
思路：與前面的大同小異，異在：輸入數據的時候，從下標1開始存，參數sum也定義為全局變量；及時還原，並且找到了就輸出，不在主函數裏來輸出。(if、else結構)
輸入：4 12
4 8 1 7
輸出：YES
4 1 7
4 8
代碼<c語言>：
#include<stdio.h> int n,k,arr[21],result[21],sum=0,flag=0; void dfs(int i)//（if、else部分） { int j; if(i==n+1) //已經全部做好選擇（每一層都選擇好了） { if(sum==k) //正好與所要求的相等 { ++flag; if(flag==1)//改組數據第一次找到符合的，輸出YES，再次找到就不用輸YES啦 printf("YES\n"); for(j=1; j<=n; j++)//找到就輸出 { if(result[j]) printf("%d ",arr[j]); } printf("\n"); } else return; } else { //對下一個數進行選擇
//1.取數
dfs(i+1);//2.不取數 sum+=arr[i]; result[i]=1;//表示用過 dfs(i+1);//對下一個數進行選擇 result[i]=0;//表示沒用過，還原 sum=sum-arr[i]; } return; } int main() { int i; //輸入 while(~scanf("%d %d",&n,&k)) { flag=0;//初始化 sum=0; for(i=1; i<=n; i++) //從數組下標1開始存 { scanf("%d",&arr[i]); } dfs(1);//第一層，第一個數，所以要n層 if(flag==0) printf("NO\n"); } return 0; }
3.組合數——南陽32（dfs+記錄+還原）
題目描述：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=32
題目要求：找出從自然數1、2、... 、n（0<n<10）中任取r(0<r<=n)個數的所有組合。還要求輸出時，每一個組合中的值從大到小排列，組合之間按逆字典序排列。
分析：先不看輸出要求，要確定r個數，則有r層，遞歸r次；那每一層有哪些選擇呢？以第count(1<count<r)層為例，也就是要確定第count個數，這時第count-1個數已經確定了，第count個數一定在它之後，這樣取出來的數就有一定的順序，那第count個數能取1~n的最後一個數嗎？自然是不可以的，不然剩下的r-count個數放哪呢？所以第count個數的下標要小於n-(r-count)，所以每一層的選擇是：“前一個數的下標”<i<n-r+count。每一層的數的下標可以用result[]保存。
考慮輸出要求，逆字典序，所以輸入時，倒著存，以n,n-1,n-2.......2,1存入數組，並且以下標1開始（方便）。
代碼<c語言>：
#include <stdio.h> int arr[10],result[10],len,num;//result存取出來的數的下標，len——數組的長度，num——要取出數是個數 void dfs(int count){//（if、else結構） int i; if(count==num+1) //num個數都取出來了 { for(int j=1; j<=num; j++) { printf("%d",arr[result[j]]); } printf("\n"); } else{ for(i=result[count-1]+1; i<len-num+count; i++) //可選擇的範圍，其下標一定會在所取前一個數下標之後，在len-num+count之前（包括）它 { result[count]=i; dfs(count+1); } } return; } int main() { int n,r,i; scanf("%d %d",&n,&r); len=n+1; num=r; for(i=1; i<=n; i++) //數組長度為n+1，註意 { arr[i]=n-i+1;//倒著存 } dfs(1); return 0; }
4.四色問題——code<vs>1116(dfs+還原)
題目描述：http://www.codevs.cn/problem/1116/
題目要求：給地圖上的點用4種顏色塗色，求共有多少種塗法，要求相鄰點的顏色不同。
分析：n個點，n層，n次遞歸；每一個點顏色有4種選擇，但是要去掉相鄰點的顏色。
代碼<c語言>：
#include<stdio.h> int a[10][10],b[10],c=0,n;//a[10][10]儲存相鄰關系，b[10]保存塗的顏色 void dfs(int x) //（if、else結構）x可以表示第幾層，也可以表示第幾個點 { int i,j;
//if if(x==n+1) //表示所有點都塗完了 { c++; return;//這裏return了，下面就不用寫else。 }
//else for(i=1; i<=4; i++) //塗四種顏色，四種選擇 1,2,3,4表示四種顏色 { // b[x]=i;//塗色，放在這裏不合適，抹去顏色只有兩種途徑，1.顏色可以這樣塗，便可以dfs下去，等待回溯後，進行b[x]=0操作。2.顏色選錯了，break後等待下一次選色，覆蓋它的顏色。但問題在於若當前已經是1,2,3,4中最後一種顏色了，就覆蓋不了了 //應該先判斷能不能塗，再進行操作 for(j=1; j<=n; j++) { if(a[x][j]&&b[j]==i)//找出與當前 點 相鄰，並且顏色相同的，就說明當前顏色塗錯了 break; } if(j==n+1) //正常跳出，不是break出來的，就說明可以塗這種顏色 { b[x]=i;//塗色 dfs(x+1); b[x]=0;//塗完過後，還原 } } return; } int main() { //輸入 int i,j; //freopen("1.txt","r",stdin); scanf("%d",&n); for(i=1; i<=n; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { scanf("%d",&a[i][j]); } } dfs(1); printf("%d",c); return 0; }
5.素數環——南陽488（dfs+記錄+還原）
題目描述：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=488
題目要求：若形成素數環，從1開始（其實第一個位置上的數已經確定），從大到小輸出
分析：n個數，n層，可以代表素數環的n個位置；每個位置，有1~n個選擇，只是，前面位置用過的，不能再用，這個數與前一位置上的數之和為不為素數，不能用。
代碼<c語言>：
//超時問題 1.將相鄰位之和是否為素數 的判斷放在 取數的階段，而不是先將數放好，再判斷素數問題2.若n為奇數，一定不成素數環 3.判斷素數，用埃氏篩選。 //特殊情況？ n=1,1為奇數，但是可以成素數環 #include<stdio.h> #include<math.h> int n,a[21],result[21],A[50],flag2;//result數組從下標1開始存數 //埃氏篩選出素數，i為素數，A[i]=0;i不為素數，A[i]=1 void AS() { int q,i; q=sqrt(50); A[0]=1; A[1]=1;//A[i]=1表示i不為素數 for(i=0; i<=q; i++) { if(!A[i])//如果i為素數，則i的倍數不為素數 for(int j=i+i; j<50; j=i+j) //j為i的倍數 { A[j]=1; } } } void dfs(int count) { int i,j,flag=1;//flag用來標記相鄰位是否是素數，flag2用來標記是否形成過素數環 if(count==n+1) //已經形成一個環 { //判斷是否是素數環 /* for(j=1;j<n;j++){ if(A[result[j]+result[j+1]])//相鄰位置之和不是素數。將素數的判斷放在 每個位置上的數都選好之後，花時間長 flag=0; }*/ if(A[result[n]+result[1]])//頭尾 flag=0; if(flag) //是素數環 { flag2=1;//表示形成過素數環 for(j=1; j<=n; j++) { printf("%d ",result[j]); } printf("\n"); } } else { for(i=1; i<=n; i++) //每一個位置（每一層）有n種選擇 { if(a[i]&&!A[i+result[count-1]]) //之前沒有用過 並且 相鄰位置數之和為素數 這樣的數才符合要求（將素數判斷放在 選擇數之前，節約時間） { result[count]=i; a[i]=0;//i用過後就用0標記 dfs(count+1); a[i]=i;//還原 } } } return; } int main() { int k=1; //輸入 AS(); while(~scanf("%d",&n)&&n) { flag2=0;//初始化 printf("Case %d:\n",k++); if(n==1) printf("1\n"); else if(n%2) printf("No Answer\n"); else { for(int i=1; i<=n; i++) { a[i]=i;//將數放入數組 } result[1]=1;//已經確定 a[1]=0;//用過了 dfs(2);//確定第一個數 if(!flag2)//說明一組都沒找著 printf("No Answer\n"); } } return 0; }
6.Lake Counting——poj488（dfs）
題目描述：http://poj.org/problem?id=2386
要求：輸出水窪的個數
分析：其實就是簡單的深度搜索（8種選擇），搜索不下去的時候，一個水窪就確定了，又開始下一個搜索。‘W‘代表水，只有‘W’能走，走過的地方變為‘.’，避免重復走過，不必還原。
代碼<c語言>：
#include<stdio.h> int m,n; char a[105][105]; void dfs(int x,int y) { int nx,ny,dx,dy; a[x][y]=‘.‘;//將遍歷過的點，由‘W’變為‘.‘,避免再次遍歷 for(dx=-1; dx<=1; dx++)//八個方向，8種選擇 { for(dy=-1; dy<=1; dy++) { nx=x+dx;//八個方向遍歷,不能寫成nx,ny ny=y+dy; if(a[nx][ny]==‘W‘&&nx>=0&&nx<m&&ny>=0&&ny<n) //若下一個方向上的點 是水窪，且沒超過邊界，繼續遍歷 { dfs(nx,ny); } } } return; } int main() { int i,j,c=0; //輸入 //freopen("1.txt","r",stdin); scanf("%d %d",&m,&n); getchar();//註意 for(i=0; i<m; i++) { for(j=0; j<n; j++) { scanf("%c",&a[i][j]); } getchar();//註意 } for(i=0; i<m; i++) { for(j=0; j<n; j++) { if(a[i][j]==‘W‘) //只遍歷‘W‘ { dfs(i,j);//遍歷結束一次，構成一個水窪 c++; } } } printf("%d",c); return 0; }
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