題目描述 Description

小 B 最近迷上了華容道，可是他總是要花很長的時間才能完成一次。於是，他想到用編程來完成華容道：給定一種局面，華容道是否根本就無法完成，如果能完成，最少需要多少時間。
小 B 玩的華容道與經典的華容道遊戲略有不同，遊戲規則是這樣的：

1. 在一個 n*m 棋盤上有 n*m 個格子，其中有且只有一個格子是空白的，其余 n*m-1個格子上每個格子上有一個棋子，每個棋子的大小都是 1*1 的；
2. 有些棋子是固定的，有些棋子則是可以移動的；
3. 任何與空白的格子相鄰（有公共的邊）的格子上的棋子都可以移動到空白格子上。 遊戲的目的是把某個指定位置可以活動的棋子移動到目標位置。

給定一個棋盤，遊戲可以玩 q 次，當然，每次棋盤上固定的格子是不會變的，但是棋盤上空白的格子的初始位置、指定的可移動的棋子的初始位置和目標位置卻可能不同。第 i 次玩的時候，空白的格子在第 EX_i 行第 EY_i 列，指定的可移動棋子的初始位置為第 SX_i 行第 SY_i 列，目標位置為第 TX_i 行第 TY_i 列。
假設小 B 每秒鐘能進行一次移動棋子的操作，而其他操作的時間都可以忽略不計。請你告訴小 B 每一次遊戲所需要的最少時間，或者告訴他不可能完成遊戲。

輸入描述 Input Description

第一行有 3 個整數，每兩個整數之間用一個空格隔開，依次表示 n、m 和 q；
接下來的 n 行描述一個 n*m 的棋盤，每行有 m 個整數，每兩個整數之間用一個空格隔開，每個整數描述棋盤上一個格子的狀態，0 表示該格子上的棋子是固定的，1 表示該格子上的棋子可以移動或者該格子是空白的。
接下來的 q 行，每行包含 6 個整數依次是 EX_i、EY_i、SX_i、SY_i、TX_i、TY_i，每兩個整數之間用一個空格隔開，表示每次遊戲空白格子的位置，指定棋子的初始位置和目標位置。

輸出描述 Output Description

輸出有 q 行，每行包含 1 個整數，表示每次遊戲所需要的最少時間，如果某次遊戲無法完成目標則輸出-1。

樣例輸入 Sample Input

3 4 2
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 0
3 2 1 2 2 2
1 2 2 2 3 2

樣例輸出 Sample Output

2
-1

數據範圍及提示 Data Size & Hint

【樣例說明】
棋盤上劃叉的格子是固定的，紅色格子是目標位置，圓圈表示棋子，其中綠色圓圈表示目標棋子。
第一次遊戲，空白格子的初始位置是 (3, 2)（圖中空白所示），遊戲的目標是將初始位置在(1, 2)上的棋子（圖中綠色圓圈所代表的棋子）移動到目標位置(2, 2)（圖中紅色的格子）上。
移動過程如下:

第二次遊戲，空白格子的初始位置是（1, 2）（圖中空白所示），遊戲的目標是將初始位置在（2, 2）上的棋子（圖中綠色圓圈所示）移動到目標位置 (3, 2)上。

要將指定塊移入目標位置，必須先將空白塊移入目標位置，空白塊要移動到目標位置，必然是從位置（2，2）上與當前圖中目標位置上的棋子交換位置，之後能與空白塊交換位置的只有當前圖中目標位置上的那個棋子，因此目標棋子永遠無法走到它的目標位置，遊戲無法完成。

【數據範圍】
對於 30%的數據，1 ≤ n, m ≤ 10，q = 1；
對於 60%的數據，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 10；
對於 100%的數據，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 500。

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思路一（雖然沒錯但是會TLE）

一看到題目，聯想到以前做過的八數碼。於是可以想到把空白塊當作可以自由移動的單位進行BFS。由於想不到什麽優化措施，所以就敲了一段大爆搜……雖然TLE是意料之中，但是沒想到竟然能拿到70分（那這就說明我離正解不遠了/誤）

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思路二（正解）

整理一下為什麽思路一的BFS是錯的。

在一個規模較小的數據範圍內，思路一的BFS是可以在1s內得出結論的……但是很不幸，雖然出題人很善良的給了70分（是不是沒卡掉），但是爆搜還是沒有前途的；

思路一的BFS缺陷就是，白塊是以一種玄妙不可預測的路線行進的（誤）。在搜索的時候會浪費很多時間在根本不可能的情況上（不做無法實現的夢）。

所以在冥(ming)思(le)苦(ti)想(jie)以後想到了絕妙的算法！

對於最優的操作，有一個前提是空白塊一定要先移動到欽點塊的旁邊。然後空白塊和欽點塊再作為一個整體移動。

空白塊和欽點塊的移動可以用SPFA來求最短路徑。建圖的方法就是把空白塊和欽點塊的位置的狀態看作一個點，再把每個狀態之間互相轉換的過程看作邊，在這個圖裏跑一邊SPFA就可以輕松求出正解！

以下是蒟蒻敲了一個下午的代碼

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<queue>
  4 #include<cstring>
  5 using namespace std;
  6 #define MAXN 31
  7 #define MAXM 40001
  8 #define INF 0x3f3f3f3f
  9 int n,m,q,num[MAXN][MAXN][5],tot,cnt,head[MAXM],vis[MAXN][MAXN],ex,ey,sx,sy,tx,ty,dis[MAXM],used[MAXM],mp[MAXN][MAXN];
 10 const int dx[]={1,-1,0,0},dy[]={0,0,1,-1};
 11 struct Edge
 12 {
 13     int to,dis,next;
 14 }e[MAXM];
 15 struct ZT{int x,y,steps;};
 16 void add(int from,int to,int dis)
 17 {
 18     e[++cnt].next=head[from];
 19     e[cnt].to=to;
 20     e[cnt].dis=dis;
 21     head[from]=cnt;
 22 }
 23 int bfs(int ax,int ay,int bx,int by,int cx,int cy)
 24 {
 25     if(ax==bx&&ay==by) return 0;
 26     memset(vis,0,sizeof(vis));
 27     queue<ZT>Q;
 28     while(!Q.empty()) Q.pop();
 29     Q.push((ZT){ax,ay,0});
 30     vis[ax][ay]=vis[cx][cy]=1;
 31     while(!Q.empty())
 32     {
 33         ZT u=Q.front();Q.pop();
 34         if(u.x==bx&&u.y==by) return u.steps;
 35         for(int i=0;i<4;i++)
 36         {
 37             int x=u.x+dx[i],y=u.y+dy[i];
 38             if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&mp[x][y]&&!vis[x][y])
 39             {
 40                 Q.push((ZT){x,y,u.steps+1});
 41                 vis[x][y]=1;
 42                 if(x==bx&&y==by) return u.steps+1;
 43             }
 44         }
 45     }
 46     return INF;
 47 }
 48 void init()
 49 {
 50     for(int i=1;i<=n;i++)
 51         for(int j=1;j<=m;j++)
 52             for(int k=0;k<4;k++)
 53                 if(mp[i][j]&&mp[i+dx[k]][j+dy[k]])
 54                     num[i][j][k]=++tot;
 55     for(int i=1;i<=n;i++)
 56         for(int j=1;j<=m;j++)
 57             for(int k=0;k<4;k++)
 58                 if(num[i][j][k])
 59                     add(num[i][j][k],num[i+dx[k]][j+dy[k]][k^1],1);
 60     for(int i=1;i<=n;i++)
 61         for(int j=1;j<=m;j++)
 62             for(int k=0;k<4;k++)
 63                 for(int l=0;l<4;l++)
 64                     if(l!=k&&num[i][j][k]&&num[i][j][l])
 65                         add(num[i][j][k],num[i][j][l],bfs(i+dx[k],j+dy[k],i+dx[l],j+dy[l],i,j));
 66 }
 67 int spfa()
 68 {
 69     queue<int>Q;
 70     if(sx==tx&&sy==ty) return 0;
 71     for(int i=1;i<=tot;i++) dis[i]=INF;
 72     for(int k=0;k<4;k++)
 73     {
 74         if(num[sx][sy][k])
 75         {
 76             dis[num[sx][sy][k]]=bfs(ex,ey,sx+dx[k],sy+dy[k],sx,sy);
 77             Q.push(num[sx][sy][k]);
 78         }
 79     }
 80     while(!Q.empty())
 81     {
 82         int u=Q.front();Q.pop();
 83         used[u]=0;
 84         for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
 85         {
 86             int v=e[i].to;
 87             if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
 88             {
 89                 dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
 90                 if(!used[v])
 91                 {
 92                     Q.push(v);
 93                     used[v]=1;
 94                 }
 95             }
 96         }
 97     }
 98     int ans=INF;
 99     for(int k=0;k<4;k++)
100     {
101         if(num[tx][ty][k]) ans=min(ans,dis[num[tx][ty][k]]);
102     }
103     return ans==INF?-1:ans;
104 }
105 int main()
106 {
107     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
108     for(int i=1;i<=n;i++)
109         for(int j=1;j<=m;j++)
110             scanf("%d",&mp[i][j]);
111     init();
112     while(q--)
113     {
114         scanf("%d%d%d%d%d%d",&ex,&ey,&sx,&sy,&tx,&ty);
115         printf("%d\n",spfa());
116     }
117     return 0;
118 }

這道題做的我要死了orz

順便吐槽一下為什麽NOIP2013D2前兩道都是普及的水題，到最後一道題就這麽難orz

2018/7/16 YMOI模擬 NOIP2013D2T3華容道