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擴展歐幾裏得定理

歐幾裏得定理

（未掌握的話請移步[擴展歐幾裏得]）

正題

設存在ax+by=gcd(a,b)，求x，y。
我們已經知道了用擴歐求解的方法是遞歸，終止條件是x==1，y==0；

int exgcd( int a, int b, int &x, int &y ) {
    if( b == 0 ) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int tmp = a % b;
    if( tmp > b ) swap( tmp, b );
    
 
int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ans;
}

到b==0時，我們可以得到一組解：（1,0）。
接下來再逐步回帶，求出所有可能的解。具體是為什麽呢？

證明

已知：

ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)
a mod b = a-a/b*b

可求得：
ax1+by1=bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)
即
ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2=gcd(a,b)
化簡得
ax1+by1=bx2+ay2-a/b*b*y2=gcd(a,b)

證明畢，
每次的x和y均存在遞歸關系，所以我們可以在求得一組解後回溯時回帶求出其他解，此時計數

P.S.

對於求方程正整數解的個數的題，需要註意特判
設ax+by=c，給定a，b，c，求x，y的正整數解個數

x=0，y=0，z=0時，方程無數解
x=0，y=0，z！=0時，方程無解
x，y<0，z>0時方程無解，反之亦然

exgcd擴展歐幾裏得求解的個數