一、關於二次不等式的恒成立問題的類型和處理策略

二、各種類型的具體例題處理

• 角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式確定參數範圍**

\(\fbox{例3}\)(2017銅川模擬)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)對於任意的\(a，b\in R\)恒成立，則實數\(\lambda\)的取值範圍為_____________。

法1：(將\(b\)和\(\lambda\)看做系數)將不等式轉化為\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)對任意的\(a\in R\)恒成立，

則\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

法2：當\(b=0\)時，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；

當\(b\neq 0\)時，原不等式等價於\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，

令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)對任意的\(t\in R\)恒成立，

則\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)

綜上所述(兩種情況取交集)，實數\(\lambda\)的取值範圍為\(-8\leq \lambda \leq 4\)。

• 角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a，b])\)型的不等式確定參數範圍

\(\fbox{例4}\)

設函數\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\)，若對於\(x\in [1，3]\)，\(f(x)<-m+5\)恒成立，求\(m\)的取值範圍。

法1：利用二次函數求解，要使\(f(x)<-m+5\)恒成立，即\(mx^2-mx+m-6<0\)，

即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)

令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)，

當\(m>0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函數，

所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)，

則有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)；

當\(m<0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是減函數，

所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)，

則有\(m<0\)；

綜上所述，\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。

法2：分類參數法，因為\(x^2-x+1>0\)，由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)，

故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立，

又因為函數\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在區間\([1,3]\)上的最小值為\(\cfrac{6}{7}\),

故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可，

又因為\(m\neq 0\)，所以\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。

\(\fbox{例4-1}\)

已知函數\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在區間 \([1,5]\)上恒成立，求參數\(a\)的取值範圍。

\(\fbox{法1，二次函數法}\)

①由於\(\Delta=a^2+8a≤0\)時滿足題意，解得\(-8≤a≤0\)，

求得對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)，

再考慮對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)和給定區間\([1，5]\)的相對位置關系

②當\(-\cfrac{a}{2}≤1\)時，即\(a≥-2\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞增，

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\)，又因為\(a≥-2\)，所以得到\(-2≤a≤1\)。

③當\(-\cfrac{a}{2}≥5\)時，即\(a≤-10\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞減，

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\)，解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\)，又因為\(a≤-10\)，所以得到\(a\in\varnothing\).

④當\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)時，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\)，

得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\)，所以\(-8≤a<-2\)（這種情形可以省略）

綜上可得\(a\)的取值範圍是\([-8,1]\)

法2：分離參數法，先轉化為\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)

接下來就轉化為了三個恒成立的命題了，

當\(x=2\)時，原不等式即\((2-2)a\ge -4\)，\(a\in R\)都符合題意；

當\(2<x<5\)時，原不等式等價於\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)

求得當\(x=4\)時，\(g(x)_{max}=-8\)，故\(a\ge -8\)

當\(1<x<2\)時，原不等式等價於\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)

當且僅當\(x=0\)時取到等號，並不滿足前提條件\(1<x<2\)，故是錯解。

此時需要借助對勾函數的單調性，函數\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，

那麽\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在區間\([1，2]\)上單調遞減，

\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，

故\(g(x)_{min}=g(1)=1\)，故\(a\leq 1\)

以上三種情況取交集，得到\(a\in [-8，1]\)。

• 角度三 形如\(f(x)\ge 0(參數m\in[a，b])\)型的不等式確定參數範圍

\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)時不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，則\(x\)的取值範圍是多少？

分析：主輔元換位，把不等式的左端看成關於\(a\)的一次函數，

記為\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，則由\(f(a)>0\)對於任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立，

只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，

即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，

解得\(x<1\)或\(x>3\)，則\(x\)的取值範圍是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

三、對應練習：

1、(2017新余模擬)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)對任意實數\(x\)恒成立，則實數\(a\)的取值範圍是

分析：令\(a^2-3a=A\)，\(x^2-2x+5=f(x)\)，

則轉化為\(f(x)\ge A\)對任意實數恒成立，即需要求解\(f(x)_{min}\);

2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立，則實數\(a\)的取值範圍是___________.

分析：分離參數得到\(a>-x^2+2x\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立，

即需要求函數\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)的\(f(x)_{max}\),

\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\)，則得到\(a>0\).

3、已知函數\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),對任意實數\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若當\(x\in[-1,1]\)時，\(f(x)>0\)恒成立，則\(b\)的取值範圍是_____________.

分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函數的對稱軸\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，

故題目轉化為\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)對任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，

用整體法分離參數，

得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)對任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。

令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函數\(g(x)_{max}\)；

\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，

故\(g(x)\)在區間\([-1，1]\)上單調遞減，則\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，

故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。