恒成立、能成立和恰成立三類命題賞析

恒成立、能成立和恰成立三類命題是高三數學中比較常見的高頻命題，尤其是恒成立、能成立命題，讓許多學生感到頭疼不已。考查的頻次多，難度大，所以深入思考和總結這類命題的規律顯得非常必要和迫切，同時和恒成立、能成立命題緊密相連的變形技巧----分離參數法，更是非常普遍和常用的一種數學變形方法。

\(\color{Red}{恒成立問題}\)

\(\fbox{例1}\)已知函數\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在區間\([1，5]\)上恒成立，求參數\(a\)的取值範圍。

\(\fbox{常規法1(二次函數法)}\)由於\(\Delta=a^2+8>0\)

故不需要考慮\(\Delta<0\)的情形，只需要考慮對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)和給定區間\([1，5]\)的相對位置關系

當\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)時，即\(a≥-2\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞增，

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2≥0\),解得\(a≥1\)，又因為\(a≥-2\)，所以得到\(a≥1\)。

當\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)時，即\(a≤-10\) 時，函數\(f(x)\)在區間 \([1,5]\)單調遞減，

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2≥0\)

又因為\(a≤-10\)，所以得到\(a\in\varnothing\)。

當\(1<-\cfrac{a}{2}<5\)，即\(-10<a<-2\)時，\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\)，

得到\(a\in\varnothing\)。（這種情形可以省略）

綜上可得\(a≥1。\)即\(a\)的取值範圍是\([1,+∞)\)

\(\fbox{法2:(恒成立+分離參數法)}\)
兩邊同時除以參數\(a\)的系數\(x\)(由於\(x\in [1，5]\)

\(a≥\cfrac{2}{x}－x\)在區間 \([1,5]\)上恒成立, 轉化為求新函數“\(\cfrac{2}{x}－x\)”在\([1,5]\)上的最大值。

這時我們一般是定義新函數，令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)，

則利用函數單調性的結論，可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在區間 \([1,5]\)上單調遞減，

所以\(g(x)_{max}=g(1)=1,\)所以\(a≥1\)，即\(a\)的取值範圍是\([1,+∞)\)

\(\fbox{例2}\)

已知函數\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在區間 \([1,5]\)上恒成立，求參數\(a\)的取值範圍。

\(\fbox{法1}\)先求得對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)，

①由於\(\Delta=a^2+8a≤0\)時滿足題意,解得\(-8≤a≤0\)，

再考慮對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)和給定區間\([1,5]\)的相對位置關系

②當\(-\cfrac{a}{2}≤1\)時，即\(a≥-2\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞增，

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\)，又因為\(a≥-2\)，所以得到\(-2≤a≤1\)。

③當\(-\cfrac{a}{2}≥5\)時，即\(a≤-10\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞減，

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\)，解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\)，又因為\(a≤-10\)，所以得到\(a\in\varnothing\).

④當\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)時，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\)，

得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\)，所以\(-8≤a<-2\)（這種情形可以省略）

綜上可得\(a\)的取值範圍是\([-8,1]\)

法2：分離參數法，先轉化為\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)

接下來就轉化為了三個恒成立的命題了，

當\(x=2\)時，原不等式即\((2-2)a\ge -4\)，\(a\in R\)都符合題意；

當\(2<x<5\)時，原不等式等價於\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)

求得當\(x=4\)時，\(g(x)_{max}=-8\)，故\(a\ge -8\)

當\(1<x<2\)時，原不等式等價於\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)

當且僅當\(x=0\)時取到等號，並不滿足前提條件\(1<x<2\)，故是錯解。

此時需要借助對勾函數的單調性，函數\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，

那麽\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在區間\([1，2]\)上單調遞減，

\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在區間\([1，2]\)上單調遞增，

故\(g(x)_{min}=g(1)=1\)，故\(a\leq 1\)

以上三種情況取交集，得到\(a\in [-8，1]\)。

\(\color{Red}{能成立問題}\)

\(\fbox{例3}\)

已知函數\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\)在區間 \([1,5]\)上能成立，求參數\(a\)的取值範圍。

分析：同理得到\(a≥\cfrac{2}{x}－x\)在區間\([1,5]\)上能成立, 轉化為求新函數\(\cfrac{2}{x}－x\)在\([1,5]\)上的最小值。

令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x，g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在區間 \([1,5]\)上單調遞減，

所以\(g(x)_{min}=g(5)=-\cfrac{23}{5},\)所以\(a≥-\cfrac{23}{5}\)即\(a\)的取值範圍是\([-\cfrac{23}{5}，+∞)\)

需要註意的是這種命題作為一種數學模型，它們還有與其等價的敘述方法，它們常常考察我們的轉化劃歸的能力。比如：

函數\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在區間 [1,5]上恒成立 \(\Longleftrightarrow \forall x\in [1,5]\)，都能使得函數\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)成立。

再比如： 函數\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在區間 [1,5]上能成立，

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在區間 [1,5]上有解

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在區間 [1,5]上解集不是空集

\(\Longleftrightarrow\)不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在區間 [1,5]上至少有一個解。

\(\color{Red}{恰成立命題}\)

\(\fbox{例4}\)已知函數\(f(x)=\sqrt{1+3^x+a\cdot 9^x}，\)其定義域為\((-∞,1]\),則a的取值範圍是\(a=-\cfrac{4}{9}\)。

解析：由題目可知\(1+3^x+a\cdot 9^x\ge 0\)的解集必須恰好是是\((-\infty，1]\)，

即\((\cfrac{1}{9})^x+(\cfrac{1}{3})^x+a\ge 0\)的解集必須恰好是是\((-\infty，1]\)，

令\((\cfrac{1}{3})^x=t\)，則\(t\in[\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，則\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必須是\([\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，

則\(g(\cfrac{1}{3})=0\)，所以\(9a+4=0，a=-\cfrac{4}{9}\)。

反思總結：本題有兩種變換，其一令\(3^x=t\in(0，3]\)，變換得到\(h(t)=at^2+t+1\ge0\)的解集必須是\((0，3]\)；

其二令\((\cfrac{1}{3})^x=t\)，則\(t\in[\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，則\(g(t)=t^2+t+a>=0\)的解集必須是\([\cfrac{1}{3}，+\infty)\)，

變換二比變換一要好處理、好理解一些。圖像說明

\(\fbox{例1}\)

如:不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)在區間 \([-1,1]\)上恰成立(或者不等式\(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0\)的解集是\([-1,1]\))，求參數\(a\)的取值。

解析：\(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0\)在區間 \([-1,1]\)上恰成立，則\(f(-1)=0,f(1)=0\),解得\(a= -1\).

\(\fbox{例2}\)

若函數\(f(x)=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{3x^2}{2}+ax+4\)恰在\([-1,4]\)上單調遞減，則實數\(a\)的值為\(-4\).

解析：\(f'(x)=x^2-3x+a≤0\)的解集是\([-1,4]\)，則\(4\)是方程\(x^2-3x+a=0\)的根，故實數\(a= - 4\).

\(\fbox{例5}\)【2018福建四地六校聯考】

已知函數\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\)的值域為\((-\infty，0]\cup[4，+\infty)\)，求\(a\)的值。

分析：本題目屬於恰成立命題，

當\(x>0\)時，\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\ge 2\sqrt{a}+2=4\)，解得\(a=1\)，當且僅當\(x=1\)時取到等號；

當\(x<0\)時，\(f(x)=x+\cfrac{a}{x}+2\leq -2\sqrt{a}+2=0\)，解得\(a=1\)，當且僅當\(x=-1\)時取到等號；

綜上可知，\(a=1\)。