有編號1~100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麽按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。

現在開始按開關。

第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次(按開關燈的編號： 1,2,3,......100)。
第2個同學，隔一個燈按一次(按開關燈的編號： 2,4,6,......,100)。
第3個同學，隔兩個燈按一次(按開關燈的編號： 3,6,9,......,99)。
......

問題是，在第100個同學按過之後，有多少盞燈是亮著的？

這個問題有一個數學上的解決方法。可以看出，被按了奇數次的燈泡應該是亮著的，被按了偶數次的燈泡應該是滅的。那麽什麽樣的燈泡被按了奇數次？什麽樣的燈泡又被按了偶數次呢？從按的過程可以發現，如果一個燈泡的編號具有偶數個因子，那麽該燈泡就被按了偶數次，反之按了奇數次。現在的問題又變成，什麽樣的編號具有奇數個因子，什麽樣的編號具有偶數個因子？這涉及到一個叫做質因數分解的定理，大概的意思是說，任何正數都能被唯一表示成多個質因數冪次乘積的方式。

例如:

14=2*7
50=2*5^2
...
100=2^2*5^2

也就是N=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是質數，e[i]是p[i]的冪次。而由這個公式我們又可以導出一個數有多少個因子的計算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)

推導過程舉例：45 = 3^2 * 5 ^ 1, 45可以被分解為：3^0 * 5^0, 3^0 * 5^1, 3^1 * 5^0, 3^1 * 5^1, 3^2 * 5^0, 3^2 * 5^1，一共六個因子

那麽什麽條件下滿足FactorNumber(N)是奇數呢？顯然必須所有的e[1],e[2],......,e[k]都必須是偶數，這樣才能保證e[i]+1是奇數，結果乘積才能是奇數。而由於e[1],e[2],......,e[k]都是偶數,那麽N一定是一個完全平方數(因為sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整數) 。回到按燈泡的問題上來，1~100中完全平方數有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100這10個數，也就是說最後只有編號為這10個數的燈是亮著的。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int N, M, i, j, index=0;
    bool on[5001]; // 記錄燈的開關狀態
    cin >> N >> M;
    for (i=0; i<5001; i++) on[i] = false; // 第1人
    for (i=2; i<=M; i++){ // 從第2個人開始模擬
        for (j=i; j<=N; j+=i){
            on[j] = !on[j];
        }
    }
    for (i=1; i<=N; i++){
        if (!on[i]){
            if (index == 0) cout << i;
            else cout << "," << i;
            index++;
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

C:

#include <iostream>

using namespace std;

int a[1010] = {0};

int main()
{
    int n, k, first = 1;
    cin>>n>>k;

    for (int i = 1; i <= k; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (j % i == 0)
            {
                a[j] = !a[j];
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(a[i])
        {
        if (first)
        {
            first = 0;
        }
        else
        {
            cout<<" ";
        }
            cout<<i;
        }
    }

    return 0;
}

開關燈問題