「LuoguP1430」 序列取數
題目描述
給定一個長為n的整數序列(n<=1000)，由A和B輪流取數（A先取）。每個人可從序列的左端或右端取若幹個數（至少一個），但不能兩端都取。所有數都被取走後，兩人分別統計所取數的和作為各自的得分。假設A和B都足夠聰明，都使自己得分盡量高，求A的最終得分。
輸入輸出格式
輸入格式：第一行，一個正整數T，表示有T組數據。（T<=100）
接著T行，每行第一個數為n，接著n個整數表示給定的序列.
輸出格式：輸出T行，每行一個整數，表示A的得分
輸入輸出樣例
輸入樣例#1： 復制2 1 -1 2 1 2輸出樣例#1：
-1 3
說明
時限：3s
題解
首先讓我們試試暴力思路：
設A的得分為VA，B的得分為VB
那麽在（VA-VB）取得最大值時，有VA最大。
證明：VA-VB=VA-（Sum-VA）=2*VA-Sum
設F[L][R]為當前還剩[L][R]時，（先手得分-後手得分）的最大值。
若當前正在處理F[L][R]，那麽存在三種選擇方案：
1.全取。
F[L][R]=∑{ v[i] | L < = i < = R }
2.從左邊取一些。（保留L‘到R）
F[L][R]=∑{ v[i] | L <= i <= L‘-1 }-F[L‘][R]
3.從右邊取一些。（保留L到R‘）
F[L][R]=∑{ v[i] | R‘+1 <= i <= R }-F[L][R‘]
關於減去F[L‘][R]：
當區間轉換到[L‘,R]時的F值，為轉換後的先手-後手，也就是當前意義下的後手-先手，
所以-（後手-先手）=先手-後手。
這樣，我們從小到大枚舉區間，每次在這三種決策中取一種最優決策，
最後的max(VA-VB)=F[1][n],
max(VA)=（F[1][n]+Sum）/2。
於是我們可以很較為輕松的寫出O(n^3)的暴力啦！
1 /* 2 qwerta3 P1430 序列取數 4 Unaccepted 5 40 6 代碼 C++，0.94KB 7 提交時間 2018-09-19 18:57:13 8 耗時/內存 9 19351ms, 4628KB 10 */ 11 #include<cmath> 12 #include<cstdio> 13 #include<cstring> 14 #include<iostream> 15 using namespace std; 16 #define R register 17 inline int read() 18 { 19 char ch=getchar(); 20 int x=0;bool s=1; 21 while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)s=0;ch=getchar();} 22 while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 23 return s?x:-x; 24 } 25 int s[1007]; 26 int f[1007][1007]; 27 //int m[1007][1007]; 28 int main() 29 { 30 //freopen("a.in","r",stdin); 31 int t=read(); 32 while(t--) 33 { 34 int n=read(); 35 for(R int i=1;i<=n;++i) 36 s[i]=s[i-1]+read(); 37 for(R int len=1;len<=n;++len) 38 for(R int l=1;l+len-1<=n;++l) 39 { 40 41 int r=l+len-1; 42 f[l][r]=s[r]-s[l-1]; 43 for(R int _l=l+1;_l<=r;++_l) 44 f[l][r]=max(f[l][r],s[_l-1]-s[l-1]-f[_l][r]); 45 for(R int _r=r-1;_r>=l;--_r) 46 f[l][r]=max(f[l][r],s[r]-s[_r]-f[l][_r]); 47 48 } 49 printf("%d\n",(f[1][n]+s[n])>>1); 50 } 51 return 0; 52 }
但是想要通過1e3的數據，O(n^3*t)的時間復雜度肯定是布星的。
所以我們還需要一點兒優化。
考慮狀態數是n^2的，雷打不動，所以我們要將賊手伸向狀態轉移。
以從右取為例：
F[L][R]=max（S[R]-S[R‘]-F[L][R‘]） //(L <= R‘ <= R-1)
=max（S[R]-（S[R‘]+F[L][R‘]））
如果我們能知道R‘在L到R-1上時，S[R‘]+F[L][R‘]的最小值，那麽就能O(1)轉移了。
設
Min[L][R]=min{S[R‘]+F[L][R‘] | L <= R‘ <= R }
那麽有
Min[L][R-1]=min{S[R‘]+F[L][R‘] | L <= R‘ <= R-1 }
也就是說
Min[L][R]=min(Min[L][R-1],S[R]+F[L][R])
這樣，在循環枚舉區間的同時順便維護一下Min[L][R]，就可以實現O(1)轉移了。
其實就是把暴力中間那兩句話換了種說法而已。
1 /* 2 qwerta 3 P1430 序列取數 4 Accepted 5 100 6 代碼 C++，1.63KB 7 提交時間 2018-09-19 20:05:27 8 耗時/內存 9 4910ms, 12444KB 10 */ 11 #include<cmath> 12 #include<cstdio> 13 #include<cstring> 14 #include<iostream> 15 using namespace std; 16 #define R register 17 inline int read() 18 { 19 char ch=getchar(); 20 int x=0;bool s=1; 21 while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)s=0;ch=getchar();} 22 while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 23 return s?x:-x; 24 }//快讀（這題略卡常） 25 int s[1007]; 26 int f[1007][1007]; 27 int ml[1007][1007]; 28 int mr[1007][1007]; 29 //設ml為固定L端時的min值，mr為固定R端時的max值 30 void write(int x) 31 { 32 if(x>9)write(x/10); 33 putchar(x%10+‘0‘); 34 return; 35 }//快寫 36 int main() 37 { 38 //freopen("a.in","r",stdin); 39 int t=read(); 40 while(t--) 41 { 42 int n=read(); 43 for(R int i=1;i<=n;++i) 44 s[i]=s[i-1]+read();//前綴和 45 for(R int l=1;l<=n;++l) 46 { 47 f[l][l]=s[l]-s[l-1]; 48 ml[l][l]=s[l]+f[l][l]; 49 mr[l][l]=s[l-1]-f[l][l]; 50 }//預處理 51 for(R int len=2;len<=n;++len) 52 for(R int l=1,r=len;r<=n;++l,++r)//枚舉區間 53 { 54 f[l][r]=s[r]-s[l-1]; 55 //mr 56 //for(R int _l=l+1;_l<=r;++_l) 57 //f[l][r]=max(f[l][r],s[_l-1]-s[l-1]-f[_l][r]); 58 f[l][r]=max(f[l][r],mr[l+1][r]-s[l-1]); 59 //ml 60 //for(R int _r=r-1;_r>=l;--_r) 61 //f[l][r]=max(f[l][r],s[r]-s[_r]-f[l][_r]); 62 f[l][r]=max(f[l][r],s[r]-ml[l][r-1]); 63 // 64 ml[l][r]=min(ml[l][r-1],s[r]+f[l][r]); 65 mr[l][r]=max(mr[l+1][r],s[l-1]-f[l][r]); 66 } 67 int x=(f[1][n]+s[n])>>1; 68 if(x<0){putchar(‘-‘);write(-x);} 69 else write(x); 70 putchar(‘\n‘); 71 //輸出答案 72 } 73 return 0; 74 }
「LuoguP1430」 序列取數