【基底 / 線性組合 / 線性無關(相關)】- 圖解線性代數 02

阿新 • • 發佈：2018-10-04

三維空間相加 mage 限制 http 數學公眾存在獲得

本文轉自公眾號---遇見數學---圖解數學---線性代數部分

感謝遇見數學工作組將大學課本晦澀難懂、故作高深的數學知識，用通俗易懂而又生動有趣的方法解釋出來。

基底

在二維線性空間中, 只要用兩個特殊的向量就可以來用定位(表示)出任意向量:

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空間中的任何向量都是可以通過縮放這兩個向量再相加表示出來. 現在想象, 譬如向量 (3,2) 就是沿著 i 的方向拉伸 3 倍, 再沿著 j 方向拉伸 2 倍的向量相加結果.

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這樣特殊的向量稱之為基(Basis, 或基底), 任何二維向量都可以由這兩個向量的線性組合表示出來, 其中 a, b 為標量.

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觀察下面動圖顯示, 當兩個標量自由變化, 通過向量加法與向量數乘這兩者基礎運算, 就能獲得所有二維中可能的向量:

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基底的選取有各種各樣的方式, 但不同的選取可能會有 3 種情況, 觀察下面動圖中選取 i 和 j 作為基底出現:

也可以線性表示出空間中任意的二維向量；
如果兩個向量恰好共線時候, 所產生的向量的終點被限制在一條過原點的直線上；
兩個向量都是零向量, 其組合向量是零向量.

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所有由向量 i 和 j 線性組合而獲得所有可能的向量集合, 稱之為兩個向量張成的空間(Span).

用上面的圖形來說明: 對大部分二維向量來說, 兩個向量所張成的空間是所有二維向量的集合, 可以稱之為基底; 但當共線時, 張成的空間就是一條直線, 不能構成基底.

三維空間的基底

再來看看三維空間中的兩個方向不同的向量所張成的空間就是兩者所有的線性組合, 張成了一個過原點的平面

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對三個基底向量分別進行縮放, 然後把結果相加, 而這三個向量所有可能的線性組合構成了他們張成的空間:

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線性相關

考慮三維中第三個向量已經落在前兩個向量所張成的平面之中, 那麽就可以被這兩個向量線性表示; 或者二維中兩個向量共線, 那麽可以由另一個線性表示出來.

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這種情況稱之為線性相關(Linearly Dependent), 也就是說存在有向量對張成空間而言上多余的, 即便刪除掉也不會對張成的空間有任何影響.

反之稱為線性無關, 也就是沒有任何向量可以由其他向量經過線性組合表示出來, 每個向量對所張成的空間都做出了"貢獻".

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