提出問題

有\(n\)個互相獨立的\(0\)至\(1\)之間等概率生成的隨機變量，求從小到大排序後第\(i\)個數的數值期望

一個簡化的問題

我們先來求解一個簡化的問題：最大值的數值期望是多少？

我們會發現，由於這些變量都是在\(0\)到\(1\)之間等概率生成的，所以一個變量小於等於\(x\)的概率為\(x\)（即\(P(x_0\leq x)=x\)），則這\(n\)個數中最大值為\(x\)的概率為\(x^{n-1}\)（其他\(n-1\)個變量都小於等於\(x\)）

再考慮到有\(n\)個數都有可能成為最大值，所以最後答案還要再乘\(\binom n1\)（實際上這個組合數應該放在原式的概率函數\(p(x)\)

由於期望的計算公式為

\[E(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k\]

套到這題裏就是

\[\int_0^1x\cdot x^{n-1}\cdot dx=\int_0^1x^n\cdot dx=\frac 1{n+1}\]

乘上組合數，得到這個簡化問題的答案為\(\frac n{n+1}\)

擴展

我們現在求得了最大值（第\(n\)個數）的數值期望為\(\frac n{n+1}\)，同理可以計算出最小數（第\(1\)個數）的數值期望為\(\frac 1{n+1}\)，大膽猜想第\(i\)個數的數值期望為\(\frac i{n+1}\)

我們下面來證明這個式子

類比上面求最大值的解法，我們可以很容易地列出我們需要的式子

\[\int_0^1x\cdot x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx=\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]

（第\(i\)個數為\(x\)的概率為前\(i-1\)個數都小於等於\(x\)，後\(n-i\)個數都大於等於\(x\)，則概率為\(x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\)）

這個式子在最後還要乘一個\(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)（\(n\)個數都有可能成為第\(i\)個數，還要再選出小於等於\(x\)

我們列出了式子，但這個式子並不像\(x^n\)這樣好積分；為此，我們需要一些數學工具 妙妙工具

分部積分法

分部積分法由乘法法則推導而得

\[(uv)‘=uv‘+u‘v\]

移項

\[uv‘=(uv)‘-u‘v\]

兩邊同時積分

\[\int uv‘\cdot dx=uv-\int u‘v\cdot dx\]

積分

明確目標，我們要求

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]

我們設\(u=(1-x)^{n-i},v=\frac 1{i+1}x^{i+1}\)

則\(u‘=-(n-i)(1-x)^{n-i-1},v‘=x^i\)

則我們要求的即為

\[\int_0^1uv‘\cdot dx=(uv)\big|_0^1-\int_0^1 u‘v\cdot dx\]

由於無論\(x\)取\(0\)還是\(1\)，\(uv\)都為\(0\)，則我們只需要考慮後面的式子即可

\[-\int_0^1 u‘v\cdot dx\]
\[=-\int_0^1 -(n-i)(1-x)^{n-i-1}\frac 1{i+1}x^{i+1}\cdot dx\]
\[=\frac {n-i}{i+1}\cdot \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx\]

數列

我們發現這個式子和和最初的式子的積分部分很像，可以對比一下：

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\]
\[\int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx\]

發現一個指數上升\(1\)，一個下降\(1\)，則我們設\(a_i=\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\)

則我們可以得到一個有趣的遞推式\(a_i=\frac {n-i}{i+1}\cdot a_{i+1}\)，而邊界條件即為我們一開始證明的式子\(a_n=\frac n{n+1}\)

從而我們可以得到\(a_i\)的通項公式\(a_i=\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

所以我們前面那一長溜的積分式，可以化簡為\(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)！（這是一個表示感嘆的中文標點︿(￣︶￣)︿）

最後不要忘記我們之前提取出來的\(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)

最終解得的答案為\(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\cdot n\cdot \binom {n-1}{i-1}=\frac i{n+1}\)

猜想得證

結論

有\(n\)個互相獨立的\(0\)至\(1\)之間等概率生成的隨機變量，求從小到大排序後第\(i\)個數的數值期望為\(\frac i{n+1}\)

可以推廣，若變量的生成範圍為\([l,r]\)，則第\(i\)小數的數值期望為\(l+\frac {i\cdot(r-l)}{n+1}\)

娛樂-n個互相獨立的連續隨機變量中第i小的數值期望